이항정리 문제하나 풀어주세요~!ㅋ
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log2(∑63C3r(r=0에서 21) + ∑ 64C3r-1 (r=1에서 21))
이거 답이 뭔가요??ㅋ 어떻게 계산하는거죠??ㅋ
아시는분 답변부탁드려요~!
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x^3 = 1 의 한 허근을 ω라고 합시다. 그러면 1 + ω + ω^2 = 0 이므로,
(1/3){ (1 + 1)^63 + (1 + ω)^63 + (1 + ω^2)^63 }
= (1/3) ∑_{k = 0 to 63} 63Ck (1 + ω^k + ω^2k)
= ∑_{r = 0 to 21} 63C3r
입니다. 따라서
∑_{r = 0 to 21} 63C3r
= (1/3){ (1 + 1)^63 + (1 + ω)^63 + (1 + ω^2)^63 }
= (1/3){ 2^63 + (-ω^2)^63 + (-ω)^63 }
= (1/3)( 2^63 - 2 )
입니다. 마찬가지로
(1/3){ (1 + 1)^64 + (1/ω^2)(1 + ω)^64 + (1/ω^4)(1 + ω^2)^64 }
= (1/3) ∑_{k = 0 to 64} 64Ck (1 + ω^(k-2) + ω^(2k-4))
= ∑_{r = 1 to 21} 64C(3r-1)
이므로,
∑_{r = 1 to 21} 64C(3r-1)
= (1/3){ (1 + 1)^64 + (1/ω^2)(1 + ω)^64 + (1/ω^4)(1 + ω^2)^64 }
= (1/3){ 2^64 + ω(-ω^2)^64 + ω^2(-ω)^64 }
= (1/3)( 2^64 + 2 )
입니다. 따라서 둘을 더하면 2^63 이 되고, 여기에 밑이 2인 로그를 취하면 답은 63 이 됩니다.