수학칼럼) 수학에서 뇌절하지 않는 방법

수학에서 뇌절하지 않는 방법

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수학, 고정 100점을 향해서 (1)-준킬러 뛰어넘기

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지금까지 앞에서는 

1. 목적이 같은 개념들끼리 연결해라

2. 생각을 확장시켜 나오지 않은 패턴을 풀어낼 생각을 해라

를 설명했습니다.

이로부터 생각을 다시 한 단계 확장시켜 오늘은 수학을 푸는 과정에서 뇌절하지 않는 방법에 대해 알아보겠습니다.

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본격적으로 시작하기 앞서, 뇌절을 걱정해야 하는 단계는 위에 내가 써 놓은 두 가지의 칼럼대로 수행한 이후의 사람들이어야 한다.

위의 두 칼럼은 문제를 어떻게 시작하는지의 여부, 즉 ‘발상’에 대해 다루고 있다면

내가 오늘 쓰는 글은 ‘변형’과 관련되어 있기 때문이다.

또한 뇌절이 가능한 단계까지 오려면 최소한 모든 문제에 대해 사고를 시작할 수는 있는 단계여야 한다.

이는 풀이의 첫 줄을 쓸 줄 아는가와는 조금은 구별되는 사고이다.

뇌절이란, 내가 문제를 풀어야 하는 상황임에도 불구하고 뇌가 정지된 상황을 이야기한다.

또한 수많은 수험생들 그리고 이 글을 쓰고 있는 나 자신까지, 정말 수많은 사람들이 겪는 문제이기도 하다.

뇌절을 하는 원인은 크게 두 가지이다.

1. 상황 파악을 하는데 여러 가지의 상황이 한 번에 떠오르거나,

2. 중간에 계산을 하는 단계에서 막혀서 낑낑대는 경우

크게 다음과 같이 두 가지로 나뉜다.

우선 첫 번째 경우부터 보도록 하자.

아래는 2014년 10월 교육청 A형 30번이다.

우선 위의 문제를 보면 정말로 많은 생각들이 떠오르기 시작한다.

수열이 등차수열일까? 수열의 합이 주어졌는데 이는 과연 무엇일까? 그냥 쌩으로 합치면 되는걸까? 아니면 쪼개서 나누어 볼까?

등등등,,,,,,,,,,,

이 문제를 보면서 수많은 생각들이 스쳐 지나갈 것이고 완벽한 해결책도 딱히 떠오르지 않는다.

이것을 해결해야 할 것이 바로 ‘개념간 상황별 우선순위 정하기’이다.

조금은 기계적이고도 암기적일 수 있으나 이 상황에서 어떤 행동영역이 1순위인지를 파악하는 것이다.

이를테면 도구의 정립에서 가장 헷갈려하는 ‘삼각함수’단원에서 ‘도형을 해석하는 과정’을 예로 들 수 있을 것 같다.

삼각함수 단원은 도형의 출제 틀은 정해져 있으나 도형간 우선순위를 정하는 것이 힘든 단원이다.

원과 삼각형이 동시에 나왔다. 그렇다면 원을 먼저 보아야 하는가, 삼각형을 먼저 보아야 하는가? 삼각형을 먼저 본다고 했을 때 직각삼각형을 만들어 보는 관점이 우선시되는가? 아니면 사인 코사인 법칙을 사용하는 관점이 우선시되는가?

이러한 질문들에 대해 ‘어느 상황에서는 어떻게 할 것인가?’라는 답이 명확해질 정도로 우선순위를 설정하고 이를 바탕으로 과정을 재배열 할 수 있어야 한다.

이 말은 즉, ‘어떤 상황에서는 삼각형을 먼저 볼 것이며, 어떤 상황에서는 원을 먼저 볼 것인지, 그리고 그 이후는 어떤 과정을 따라가야 할지’를 전부 분석해 둔다는 말과 동일하다.

이에 도움이 되는 조건이 바로 ‘과정의 특수성’이다.

흔히 우진이를 비롯한 수학 강사들이 하는 말들이 있다.

‘고등 수학은 결국 특수한 상황을 다룬다’라는 말이다.

이러한 사고 역시 시험장에서 직접적으로 도움이 될 수는 없으나 사고의 방향성을 잡아주고 자신감을 붙여 넣어 준다는 데서는 하나의 괜찮은 도구가 될 수 있다.

아를 바탕으로 위의 문제를 풀어본다고 했을 때, 첫 번째 생각으로는 수열의 합 식이 주어져 있고 수열의 합에 변수가 없으므로 각 항을 직접 다뤄볼 수는 없다, 즉 직접 더해야겠다는 생각에 이르게 된다.

그렇게 되면 절댓값이 거슬리나 이는 나중에 다루는 방향으로 해야 한다.

내가 오늘 말한 주제와 엮어서,

인간은 결코 한 번에 여러 가지의 생각을 할 수 없다. 생각은 하나의 사고의 틀을 따라 단일해야 한다. 위의 문제로 예를 들자면, ‘절댓값은 신경쓰지 않고 나중에 다룬다’라는 생각이 이에 해당될 수 있다.

위와 같이 1. 모든 상황이 분석되어 있는 상태에서,

2. 사고의 우선순위를 정하고,

3. 한번에 한 가지의 조건만 처리한다면,

상황 파악에서 뇌절이 오는 경우는 상황을 모릊;l 않는 이상 오기 힘들 것이라고 생각한다.

이제는 계산을 할 때 또는 상황을 전개할 때 뇌절이 오는 상황을 해결해 보도록 하자.

상황을 전개하는 과정에서 뇌절이 오는 경우는 크게 두 가지이다.

상황과 상황 간의 연결 고리를 잘못 파악했거나, 혹은 앞의 상황을 전개하고 연산한 계산식이 틀린 경우를 그 예로 들 수 있다.

즉, 다시 말해 ‘조건을 변형하는 과정에서 실수가 있는 경우’이다.

이를 바로잡아줄 수 있는 도구가 바로 ‘사고의 과정을 구분’하고, ‘변형하는 과정에서 항시 역대입과 역연산을 하는’태도이다.

문제를 푸는 사고의 과정은 내가 앞서 얘기했듯 문제의 상황을 시작하는 ‘발상’단계와 과정을 전개하고 조건을 변형하는 ‘변형’단계로 구분할 수 있다.

문제의 상황을 변형하는 단계에서 실수를 극복하기 위해서는, 결국 내가 전개하는 상황이 항시 옳은지 끊임없이 의심해야 하고, 특수한 상황을 가정하여 계산을 생략하는 일은 웬만해선 자제해야 한다.

과정을 역대입한다는 말은 다음과 같다.

이를테면 계산을 하는 과정에서 방정식 2x+8=0을 계산해야 하는 상황이 온다고 가정해 보자.

(지금 예시는 아주 간단한 예시이나 분명 이차, 삼차방정식을 푸는 상황은 기출과 사설 모의고사에서 수차례 출제되어온 바가 있을 것이다

방식은 동일하므로 매우 간단한 예시를 든 것이다.)

위의 방정식을 풀면 x=-4가 될 것이다.

여기에서 그치지 말고 이 값을 역대입해 상황을 만족시키는지를 생각해 보아야 한다.

만약 혹시라도 상황이 하나라도 꼬일 경우엔 다음 상황마저도 꼬일 수 있기에 이는 항시 고려해 두어야 한다.

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오늘 글을 요약하자면

상황을 생각하는 과정에서 뇌절을 피하기 위해서는 모든 상황의 분석과 사고의 우선순위의 설정, 그리고 한번에 한 가지의 조건만 해결해 나가는 태도가 필요하고,

상황을 변형해 나가는 과정에서 뇌절을 피하기 위해서는 과정을 역대입해 나가는 방식이 도움이 될 것이다.

정도로 요약될 수 있을 것 같습니다.

어려운 글 처음부터 끝까지 읽으신 분들, 정말 수고 많으셨습니다.