[9.24] ★피니싱케치★
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2010
2012
수능문제이다.
두 문제 모두 풀이 방법이 두개? 나오는데..
2010은 타원! 이렇게 생각하고 풀면 빠르게 풀리지만. 순수하게 공간으로만 풀 때 아..문제가 더욱 더 의미있게 다가오고.
2012는 이것도 이걸꺼야..하면서 예상하면 빠르게 풀리는데. 백지상태에서 하나하나 풀어가면 문제가 더 의미있는 것 같은데!
어떻게 생각하는가?
같이 고민해보자.
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먼저 10문제 같은경우 기하학적인 접근이 가능하지만 대수적인 풀이도 충분히 가능해요 근데 인강강사 해설강의를 들어보면 거의 대부분 타원과 접선과의 관계로 풀죠
실제로 대수적인 접근으로 구의방정식과 평면의 방정식의 교선의 방정식을 얻으면 x^2 + y^2/cos^2 = 1 으로 식을 얻은뒤
타원과 접선의 관계를 이용해서 풀수도 있고, 아니면 대수적으로 코시슈바르츠 부등식으로 풀수도 있죠
아니면 여기서 이때 cos값은 상수취급이므로 t라 놓고 x와 y를 cos과 tsin값으로 치환하여 x+3y <=2식에 대입하여 삼각치환으로도 풀수 있고요
또 x = X, y = cosY로 치환해서 원과 또다른 접선과의 관계로도 풀수도 있구요
이때 역시 대수적으로 코시슈바르츠 부등식 혹은 접선의 방정식, 벡터의 내적, 역시 마찬가지로 삼각치환이 가능하죠
기하적,대수적으로 풀수있는 10문제와 달리 12문제는 엄밀하게 풀려면 반드시 대수적으로 풀어야 했어요
물론 저 문제를 세 평면이 공통된 교선을 갖고있다고 가정하여 단면화 시켜서 푸는 방법이 꽤나 많았고 많은 학생들이 시험장에서
그렇게 풀었을거 가타요..ㅋ 저도 처음풀땐 그렇게 풀었고요 물론 그렇게 풀어도 답은 맞게 나와요
근데 완벽히 논리적으로 풀기위해선 법선벡터 개념을 이용해서 결국 이문제도 10문제와 같이 부등식을 이용하여 푸는 과정이 나오는데
이때 원과 같은 식과 어떤 선형적인 식의 최댓값을 묻는 문제로 회귀되는거 같은데 결국 10문제와 완전 똑같아지죠
확인을 해보면 저 삼각형 평면의 방향벡터를 (1,a,b)라 두면 (x방향의 성분이 0이면 내적하여 0이 나오기때문에 0이 될수 없으므로 1로 둘수 있어요)
결국 a^2+b^2 =3 에서 l1-2a+2bl의 최댓값을 묻게 되는데 10과 달리 이번엔 선형식에 절댓값이 붙은 차이점이 있죠
여기서 마찬가지로 삼각치환을 활용하면 깔끔하게 풀리고 아니면 = k로 두고 두 직선의 접선의 방정식을 활용해서 어떨때 k가 최대가 되는지 확인해보는 방법
아니면 절댓값이 최대가 되는부분을 찾으려면 0으로 부터 제일 먼곳을 찾는것에 착안해서 우선 -2a+2b는 앞에 대칭적 성질에 의해
최댓값과 최솟값의 크기는 같을것이므로 결국 앞에 +1에 의해서 양의 최댓값을 가질때가 저 식이 최대가 될것이라고 추론
따라서, -2a+2b의 양의 최댓값을 찾으면(이것도 코시나 접선 아니면 벡터의 내적도 가능) 답이 나오게 되네요
헐 그냥 생각 줄줄 썻는데 너무 길게 쓴듯
헐 대박
폭풍감동 후 정독 전에 우선 립부터 달았쑴. ㅋㅋ