수학 질문.. 미분 가능성과 연속에 대하여(수학 고수님들 도와주세요)
게시글 주소: https://old.orbi.kr/0004698222
f(x)=x^2sin1/x (x가 0이 아닐 때)
=0 (x=0)
에서 f`(x)의 x=0에서의 연속성을 알아보고자 합니다.
먼저 정의를 사용했을 때 limx->0 {f(x)-f(0)}/(x-0) = 0 입니다.
f`(x)=2xsin1/x - cos1/x 가 됩니다. limx->0 f`(x) 는 존재하지 않습니다. 진동하기 때문이죠.
따라서 f`(x)는 x=0에서 불연속입니다.
여기까지는 이해가 갑니다.
그런데 제가 궁금한 점은
limx->0 {f(x)-f(0)}/(x-0) = 0 을 구할 때 좌변의 식은 사실
1. limx->+0 {f(x)-f(0)}/(x-0), 2. limx->-0 {f(x)-f(0)}/(x-0) 을 합친 것으로 알고 있습니다.
1.식은 사실 fx의 우미분계수 이고, 마찬가지로 2.식은 fx의 좌미분계수 아닙니까?
따라서 위 내용은 x=0에서의 좌우미분계수가 같다고 해석했습니다.
그런데 f(x)=f1(x) (x가 p이상일 때) (p는 상수입니다.)
=f2(x) (x<p)
라고 하고 fx가 x=p에서 미분 가능하다고 하면
f1(p)=f2(p) , f`1(p)=f`2(p)를 만족해야 합니다.
그렇다면, 맨위에 제시된 함수 f(x)는 x=0일때 연속이므로, f`1(0)=f`2(0)만 확인해 준다면 f`(0)에서 미분 가능합니다.
그런데 사실상 f`1(0)은 x=0에서의 우미분계수, f`2(0)=0은 좌미분계수 이므로 두개가 서로 같다면
limx->0 f`(x)= f`(0) 이란 뜻 아닙니까? (f`(0)가 미분 가능하므로)그렇다면 f`(x)는 x=0에서 연속 이라고
생각되는데
네. 사실 f`(x)는 x=0에서 불연속입니다. 논리적으로 어디서 틀렸는지 모르겠습니다.
고수님들 알려주세요 ㅠㅠ(진짜 막써서 무슨 내용인지 못 알아보실수도 있음..)
--------------------------------------------------
즉, limx->+0 f1(x)-f1(0)/x-0 = f`1(0)
limx->-0 f2(x)-f2(0)/x-0 = f`2(0)
f`(0)= limx->0 fx - f0/x-0 = f`1(0)=f`2(0) (f`(0)을 구하는 정의에서 f`(0)의 좌미분계수와 우미분계수가
같아야 한다는 뜻.=>좌미분 계수와 우미분 계수가 같다면 limx->0 f`(x)가 존재하고 이 값이
f`(0)과 같아야함. 고로 f`(x)는 x=0에서 연속이라고 생각함 =>그런데 아님.. 뭐가 문제인가요?)
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
최저 맞추기 위해 수학 2등급 목표로 하고 있는 현역 고3입니다. 따로 인강은 듣고...
-
그래프 문제 정복, GT DATA BREAKER 개강~ 0
안녕하세요. GT SCIENCE ZONE 입니다. 현재 수능이나 모의평가에서...
-
2024년 4월 학력평가 생명과학 1 총평 및 분석 0
안녕하세요. GT SCIENCE ZONE 입니다. 앞으로 종종 이승후 선생님 대신,...
-
저는 고3 내신 5.2 과고생이고 수능을 준비하고 있습니다 국어공부는 처음해봐서...
-
수능 본 지는 10년이 넘었고 sky공대 졸업해서 회사를 다니다 메디컬 준비를...
-
듄탁해나 kbs같은거 왜 사는거에요? 걍 수특 교재로 강의 보면 훨씬 싼거 아닌가?...
-
이명학 션티 조정식 누구 듣는게 좋을까요 2목표면..
-
생명 개념문제 0
생명 개념적인 문제만 왕창 다루는 컨텐츠 있을까요? 시대북스 오르비북스 인강부교재 다 괜찮아요
-
대성 이미지t 4
수능 확통 84점 백분위 88인데 1목표로 공부할려면 이미지t 별로임? 수능...
-
패스 끊어서 인강 들을 때 같은 교재는 아이디 당 한번 그리고 한권만 구매가능한거 맞나요?
-
인강패스 다 살까 11
수학은 현우진쌤, 영어는 이명학쌤, 사탐은 이지영쌤 듣고 싶은데, 다 사는게 맞는 판단인가?
-
제목 그대로 대성패스 파실 분 찾습니다. 10만원 안쪽으로 가격 선제시 해주시면...
-
문학 인강하고 고전시가 인강 들을려고 하는데, 어떤 쌤이 괜찮나요?
-
나비효과 강기본 0
나비효과 강기본 내용 겹치나요? 개념 나비효과 후 강기본 들을까요 ?
-
킬캠 1회차 실력좀 늘고 푸니까 확실히 보이는게 많네요 공통 객관식은 다맞음...
-
어그로 죄송합니다 사실 이번 수특 문학 이조년의 이화에 월백하고에 일지춘심이라는...
-
김준 0
화학 김준쌤 커리 타려고하는데 평균 35나옵니다 크리티컬말고 필수이론부터 들으면...
-
이원준 8
치대들어간형은 이원준 어려워서 드랍했다하고 국어 2따리 친구들은 이원준으로...
-
수능 수학 간접연계 강의 러닝타임 정리 2024 수능 수학 기본개념 러닝타임...
-
수능 수학 간접연계 강의 러닝타임 정리 2024 수능 수학 기본개념 러닝타임 정리...
-
미친개념 N티켓 6
N티켓 풀다가 어려워서 계속 답지에 눈 가더라고요.. 혹시 미친개념 먼저 하고...
-
사탐 인강 0
생윤,윤사 볼 예정인데 하루에 1강씩 듣기or 하루에 한과목2강듣기 뭐가 더 효율적임??
-
인강들으려고 했는데 패드를 놔두고 와서 급한대로 폰으로 들으려 했는데… 마이맥...
-
생윤강사 2
배인영 생윤 어떤가요. 배인영 풀커리에 임정환 임팩트 들을건데 어떨지 평가 좀 해주세요.
-
생윤 배인영개념+임정환 임팩트 듣고 인영쌤 커리 쭉 타려 하는데 어떤가요?...
-
저만 23교재들 버리기 아깝나요 ㅠㅠ 다 수강 못 한것들도 있고 거의 새 책도...
-
인강 첨듣는데 국어: 김동욱 수학: 현우진 물리: 배기범 화학: 김준 어떤가요?
-
인강 들을건데 어떤 강사가 더 괜찮을까요? 3등급입니다
-
고3때 뉴런 듣긴 했는데 수1만 완강했고 수2랑 미적은 반정도 듣고 드랍했습니다...
-
자퇴하고 독학중이라 매일 12시간씩 앉아는 있는데 순공은 절반 정도 밖에 안 나오는...
-
학원, 인강과 비교했을 때 과외만이 갖고 있는 장점 1
대학생 과외 쌤보다 보통은 인강이나 학원이 더 잘 가르쳐주는 걸로 알고 있어요....
-
인강 핫콜 양이랑 현강 핫콜 양차이 얼마나 나는지 아시는분 있나요?
-
현재 고1 학생임다. 첨 혼자 공부해볼라는데 하루에 몇강 들어야될지 모르겠슴다. 한...
-
수1,수2,기하 세트면 좋겠어요 택배포함 5 생각중이에요 쪽지주세요..!
-
메가는 대성보다 서비스쪽에서 어플 편의성 말고 뭔가 좀 아쉬운거 같음 3
인강 어플은 일단 메가가 압승임 배속도 1~2까지 다 존재함 근데 대성은 컴퓨터로...
-
1.3배속으로 듣는데 계속 목소리가 먼저나와서 멈췄다 재생함 불편한데 좀 고쳐줘
-
문학 개념 0
노베 상태 문학 공부하려는데 우선 문학 개념어를 정리 하고싶은데 인강이나 교재 추천 부탁드려요ㅠ?
-
현재 배기범 필수본 1단원 상대성이론 전인데 어제 중단원 문제풀이에서 빡종했습니다...
-
메가 라인업 ㅊㅊ좀 화학1, 생명1임 미적분임 언매임 그리고 커리 같은 거 어떤...
-
이투스 발악보소 ㅋㅋ 19
"이지영 수강생 기준"
-
인강 수강에 조금이나마 도움을 드리고 싶습니다.(인강 수강표 자료 배포) 5
이런 표를 만들었습니다. 이런 게 왜 필요한지 모르실 수 있는데, 개인적으로 이걸...
-
아는 선배한테 작년 션티 구문 교재(2022) 받았는데 새로 살까요 아니면...
-
김승리 유대종..누가 과연 좋은 강사일까? (이번 수능 99) 2
유대종쌤이 대성마이맥에 입성하면서 김승리쌤과 유대종쌤 중 누가 1타를 차지할...
-
방인혁t 질문 6
저번 OT 에서 비기너와 펀더멘탈 병행하면서 들으라고 하시고 이번 OT 보니까...
-
박광일 훈도 들었고 문학이 기복 심한 타입입니다
-
국어- 김동욱 풀커리에 김민정 ebs,언매 (작년 최인호 풀커리때보다 백분위...
-
https://youtu.be/5gg9wK00Jac 박상현 노이즈 프로젝트;;...
-
가슴이 웅장해지노
-
메가패스 이벤트 참여 11
방번호 293 코드 MEGAPASS010 참가해주세요. 메가 계정만 있으면 되고...
제시하신 식은 도함수가 불연속이지만 미분계수가 존재하는 경우를 예로 들 때 자주 등장하는 식이네요.
말씀하신 부분 중
그런데 f(x)=f1(x) (x가 p이상일 때) (p는 상수입니다.)
=f2(x) (x
감사합니다
본문에서 잘못된 점.
1. [그렇다면, 맨위에 제시된 함수 f(x)는 x=0일때 연속이므로, f`1(0)=f`2(0)만 확인해 준다면 f`(0)에서 미분 가능합니다.] ㅡ> [그렇다면, 맨위에 제시된 함수 f(x)는 x=0일때 연속이므로, f`1(0)=f`2(0)만 확인해 준다면 x=0에서 미분 가능합니다.]
2. [좌미분 계수와 우미분 계수가 같다면 limx->0 f`(x)가 존재하고 이 값이 f`(0)과 같아야함.] ㅡ> 같아야 할 이유가 없습니다.
3. 좌미분계수와 우미분계수의 값이 동일하다고 하여, 해당 점에서 도함수의 연속이 보장되지 않습니다. 연속일 조건은 좌극한, 우극한의 값이 동일하고 그 극한값이 실제 그 점에서의 f(x)의 값과 동일해야 합니다. 좌극한 우극한만 같다고 해서 반드시 연속인 것은 아닙니다.
4. 제시해주신 상황에서 잘 이해가 가지 않는다면 이 글에 제시된 함수를 사례로 이해를 시도해보시기 바랍니다.
http://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet_function
그냥 지나쳐갈수도 있었을 의문에 대해서 답을 알고자 하는 자세가 매우 훌륭하다고 생각합니다. 부디 그 자세 잃지 않으셨으면 좋겠습니다.
감사합니다.
1.번은 잘못된 점을 알았습니다.
그런데 2번에서 limx->+0 f(x)-f(0)/x-0 을 우미분계수로 보면 안된다는 것인가요?
3.즉 limx->+0f`(x) 가 우미분계수가 아니라는 말씀이시죠?
우미분계수와 좌미분계수는 상관없습니다. 둘 다 맞아요.
도함수의 연속성이 궁금한거잖아요?
그럼 다음 요건을 봐야합니다.
1. 도함수의 좌극한과 우극한이 같다 ㅡ> 본문에서 확인하셨습니다.
2. 이 좌극한=우극한 의 값이, 실제 그 점에서의 도함수 값과 같다 ㅡ> 실제 그 점에서 도함수 값이 정의되지 않으므로 같다고 할 수 없습니다.
이 2번 과정을 빠트리고, 1번 과정으로만 연속성을 판단하셨기에 생긴 오류입니다.
ㅋㅋ... 이해된줄 알았는데 한 번만 더 여쭤볼게요..
무슨 말씀 하시는지는 이해가 갔습니다.
근데 제가 이해가 잘 안가서..ㅠㅠ
그런데 말씀하시는 좌극한=우극한 값이 같다는것이 실제 그점에서의 도함수 값과 같다는것 아닌가요?
왜냐하면,
limx->0 fx-f0/x-0 가 정의되기 때문이라고 생각합니다.
즉, 이 값이 정의된다는 뜻은 좌극한, 우극한이 같고 그 값이
존재한다는 뜻이니까요. 또한, 이 좌극한, 우극한이 으므로
f`(0)이 존재한다는 뜻 아닌가요? 고로
f'(0) = limx->+0 fx-f0/x-0 = limx->-0 fx-f0/x-0
아닌가요?
정말 감사합니다..!!
[즉, 이 값이 정의된다는 뜻은 좌극한, 우극한이 같고 그 값이 존재한다는 뜻이니까요.] ㅡ> 오개념입니다. 좌극한, 우극한이 존재하는 것과 그 점에서의 함숫값이 존재하는 것은 전혀 상관이 없습니다.
좌극한, 우극한은 존재하지만, 그 점에서의 함숫값이 존재하지 않거나 좌,우극한 값과 다르다면 해당 함수는 그 점에서 불연속입니다.
2013학년도 9월 평가원 가형 6번문제를 보시면 해당 함수의 예시가 나와있습니다. 좌극한, 우극한은 같고, 존재하지만 그 점에서의 함숫값이 좌극한, 우극한 값과 다릅니다.
즉, "잘 가다가, 어느 한 점에서 구멍이 나 있는 함수"의 개형을 생각해 보십시오. 좌극한, 우극한 값이 동일하지만, 그 점에서 함숫값은 정의되지 않습니다.
제 말 뜻은 함숫값이 존재한다는 것이 아니라 극한값이 존재한다는 것입니다.
미분계수의 정의가 평균변화율의 '극한값'인 것 처럼요
극한값(미분계수)이 존재하므로 그 좌미분계수와 우미분계수의 값이 같다는 것이었는데.. 제가 어디를 잘못보고있는것인지요
ㅠㅠ
연속일 조건
1. 좌극한, 우극한의 값이 존재한다.
2. 이 좌극한=우극한의 값과, 해당 점에서 함숫값이 동일하다.
미분가능일 조건
1. 연속이다
2. 좌미분계수와 우미분계수가 동일하다.
좌미분계수와 우미분계수가 존재하고 서로 같다고 하여 그 지점에서 미분가능한것도 아니고, "도함수의 연속성"이 판정되는 것도 아닙니다.
연속과 미분가능하다는 것은 서로 다른거예요.
사실 지금 님께서 뭐가 궁금한건지 파악을 못하고 있어요.
차라리 종이에 적어주셔서 다시 게시물 올려주시면 뭐가 궁금한건지 잘 알수 있을 것 같은데요.
[극한값(미분계수)이 존재하므로 그 좌미분계수와 우미분계수의 값이 같다는 것이었는데] ㅡ> 이 부분이 잘못된거예요.
도함수의 불연속을 따지려면, 도함수 자체의 좌극한, 우극한을 생각해야겠죠. 도함수 자체의 함숫값과 도함수 자체의 우극한, 좌극한이 같은 값을 가지는가? 이게 관건입니다.
원 함수의 좌극한, 좌미분계수, 우극한, 우미분계수는 '도함수의 연속'과는 전혀 관련이 없어요.
음.. 도함슈의 우극한과 우미분계수가 다른가가 의문이었습니다. 사진 찍은게 있는데 지금 못올려서 아쉽네요 감사합니다
밤에 집가서 올려보겠슴다!
미분 가능 하다는것과 도함수가 연속하는건 아무 상관없는 서로 다른 개념이에요
넵..그런데 그것이 수식으로 이해가 가지 않아 사진찍어올려보려구요
모르비 사진첨부기능 미아..