RC - [수학Ⅱ] 삼차함수 네모박스 _ < 01 다항함수의 도출 및 함수의 이해 (2/3) >

[목차]

1. 다항함수의 도출 

2. 다항함수의 도출을 위한 정보

  (1) 다항함수 f(x)의 인수가 주어진 경우

    ① 다항함수 f(x)에 대하여 f(a)=0인 경우

    ② 다항함수 f(x)에 대하여 f(a)=0, f’(a)=0인 경우

    ③ 다항함수 f(x)에 대하여 인수 (x-a)의 개수

  (2) 다항함수 f(x)의 주어진 정보가 직선 위에 있는 경우

    ① 다항함수 f(x)의 주어진 정보가 상수함수 y=k 위에 있는 경우

    ② 다항함수 f(x)의 주어진 정보가 일차함수 y=px+q 위에 있는 경우 

3. 다항함수의 이해: 다항함수의 함숫값

  (1) 함수 f(x)의 개별 근에 대한 정보가 주어졌을 경우

    ① 개별 근에 대한 정보가 y=k 위에서 주어졌을 경우

    ② 개별 근에 대한 정보가 y=bx+c 위에서 주어졌을 경우
  (2) 함수 f(x)의 n중근에 대한 정보가 주어졌을 경우

    ① n중근에 대한 정보가 y=k 위에서 주어졌을 경우

    ② n중근에 대한 정보가 y=bx+c 위에서 주어졌을 경우 

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RC - [수학Ⅱ] 삼차함수 네모박스 < 01 다항함수의 도출 및 함수의 이해 (1/3) >

(https://orbi.kr/00061783789)

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※ 수학Ⅱ 문제는 함수의 모양을 정확히 파악하는 것이 중요합니다.

머릿속에 그래프를 그려낼 수 있을 만큼 그래프 개념에 숙달되신 분이 아니라면,

반드시, 옆에 노트 등을 두고 그래프를 그리며 내용을 따라오십시오.

권장사항이 아니라, 필수사항입니다.

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에서 이어집니다

(2) 다항함수 f(x)의 주어진 정보가 직선 위에 있는 경우

① 다항함수 f(x)의 주어진 정보가 상수함수 y=k 위에 있는 경우

수능 문제가 매우 친절하게 다항함수 f(x)의 근에 대한 정보를 직접적으로 제공할 수도 있지만,

그렇지 않고 근에 대한 정보를 간접적으로 제공할 수도 있습니다.

그 방법 중 하나가 근에 대한 정보,

즉 다항함수 f(x)에 대해 x축(y=0) 위의 정보를 주는 대신

상수함수 y=k 위의 정보를 주는 것입니다.

이때, 우리는 (1)-①에서와 유사한 방법으로 정보를 정리할 수 있습니다.

예를 들어, 삼차함수 f(x)에 대해 f(3)=3이라는 정보가 주어져 있을 경우,

f(x) = ax³+bx²+cx+d , 27a+9b+3c+d = 3

으로 정리하는 대신

f(x) = (x-3)(px²+qx+r)+3

와 같이 나머지 정보를 정리할 수 있다는 것이지요.

해당 개념을 활용해 예제 하나를 풀어 봅시다. 

아주 기본적인 정보 나열을 통해 해당 문제를 푸는 방법은

삼차함수 f(x) = ax³+bx²+cx+d 에 대해

f(0) = -3 이므로 d = -3

f(1) = 3 이므로 a+b+c+d = 3, a+b+c = 6,

f(2) = 3 이므로 8a+4b+2c+d = 3, 8a+4b+2c = 6, 4a+2b+c = 3

f(3) = 3 이므로 27a+9b+3c+d = 3, 27a+9b+3c = 6, 9a+3b+c = 2,

이므로

두 번째 식과 세 번째 식에서 (4a+2b+c)-(a+b+c) = 3a+b = -3

두 번째 식과 네 번째 식에서 (9a+3b+c)-(a+b+c) = 8a+2b = -4, 4a+b = -2,

(4a+b)-(3a+b) = a = (-2)-(-3) = 1

3a+b = b+3 = -3, b = -6

a+b+c = c+1-6 = c-5 = 6, c=11

f(x) = x³-6x²+11x-3 , f’(x) = 3x²-12x+11, 

f’(4) = 48-48+11 = 11 (Q.E.D.)

와 같습니다.

그런데, f(1) = f(2) = f(3) = 3 이라는 정보를 단순한 정보가 아니라

f(x)의 근에 대한 간접정보로 이해하게 된다면 풀이가 확 달라지게 됩니다.

g(x)=3 , h(x)=f(x)-g(x) 로 새로운 함수를 정의해 봅시다. 

그러면 다음 정보를 활용했을 때 

h(1) = f(1)-g(1) = 3-3 = 0

h(2) = f(2)-g(2) = 3-3 = 0

h(3) = f(3)-g(3) = 3-3 = 0

가 되므로, 해당 함수 h(x)에 대해

h(x) = f(x)-g(x) = f(x)-3 = a(x-1)(x-2)(x-3) 으로 정리할 수 있고,

이를 다시 f(x)에 대해 정리하면

f(x) = a(x-1)(x-2)(x-3) +3 으로 정리할 수 있습니다.

이렇게 정리하고 나면 위의 풀이가 다음과 같이 달라지죠.

f(0) = a×(-1)×(-2)×(-3)+3 = 3-6a = -3, a=1

f(x) = (x-1)(x-2)(x-3)+3, f’(x) = (x-2)(x-3)+(x-1)(x-3)+(x-1)(x-2)

f’(4) = 2×1+3×1+3×2 = 11 (Q.E.D.)

위의 문제는 애초에 그렇게 어려운 문제가 아니기 때문에

굳이 문제를 이렇게 풀어야 하는지에 대한 의문이 있을 수도 있겠지만,

이러한 정보를 활용하는 방법은 후반에 삼차, 사차함수 고난도 문제를 풀 때 빛을 발합니다.

‘극댓값 또는 극솟값’에 대한 정보가 나왔을 때 이를 유용하게 사용할 수 있죠.

예를 들면, 

“최고차항의 계수가 1인 삼차함수 f(x)가 x=3에서 극솟값 4를 갖는다”

와 같은 발문이 있을 경우,

해당 개념을 완벽히 숙지하고 있고 활용이 가능한 상태일 경우

해당 함수를 바로

f(x) = (x-3)²(x-k)+4, (k<3)

과 같은 방식으로 정리할 수 있는 것입니다.

(자세한 설명을 일부러 적지 않을 테니, 한번 머리를 굴려서 시도해 보시기 바랍니다.) 

② 다항함수 f(x)의 주어진 정보가 일차함수 y=px+q 위에 있는 경우

x축과 평행한, 즉 기울기가 0인 직선인 상수함수 y=k 위의 정보뿐 아니라

기울기가 0이 아닌 직선인 일차함수 y=px+q 위에 대한 정보가 주어졌을 경우에도

위와 같은 방식을 활용할 수 있습니다.

특히 함수의 접선과 관련된 문제가 나왔을 경우 해당 개념을 유용하게 활용할 수 있죠.

y=f(x)의 x=a에서의 접선 y=g(x)는 by definition, 

f(a)=g(a)이고 f’(a)=g’(a)인 직선입니다.

( 접선의 방정식: y = f’(a)(x-a)+f(a) )

따라서 새로운 함수 h(x) = f(x)-g(x) 를 정의한다면 h(x)는

h(a) = f(a)-g(a) = 0, h’(a) = f’(a)-g’(a) = 0 이라는 특징을 자동으로 만족하게 되지요.

바로 예제를 풀어 봅시다.

최고차항의 계수가 1인 삼차함수 f(x)의 x=2에서의 접선 g(x)는 

점 (-1, 1)과 점 (2, 4)를 지나네요.

x증가량이 3, y증가량이 3이므로 직선의 기울기는 1, y절편은 2입니다.

즉, g(x) = x+2 이다.

또한, f(x)와 g(x)의 그래프가 x=2에서 접하고 x=-1에서 만나므로

h(x) = f(x)-g(x) 에 대하여 h(x)는 최고차항의 계수가 1인 삼차함수이고

h(2) = 0, h’(2) = 0, h(-1) = 0 입니다. 

따라서 h(x) = f(x)-(x+2) = (x-2)²(x+1) 이고,

f(x) = (x-2)²(x+1)+(x+2), h(0) = (-2)²×1+2 = 6 (Q.E.D.)

이 되겠습니다.

위 내용은 정말

매우매우매우매우매우매우매우매우매우매우 중요하니

꼭 제대로 숙지하실 필요가 있겠습니다.

지금 보기에는 그렇게 어려운 개념이 아닌 것처럼 보일 수도 있고

많은 분들이 이미 어렴풋이 알고 있었던 내용이기도 하겠지만,

해당 개념 및 풀이 방식을 완벽히 이해하고 활용할 수 있을 때

추후 등장할 삼차함수 및 사차함수의 고난도 문제에 효과적으로 접근할 수 있습니다.

만약 수능 수학 고득점을 목표로 하시는 분이시라면,

반드시 해당 내용을 정독하며 복습하고,

다양한 접선 문제들에 적용하여 풀어보시기를 바랍니다.

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RC - [수학Ⅱ] 삼차함수 네모박스 < 01 다항함수의 도출 및 함수의 이해 > 

칼럼은 중요한 내용이 너무 많고 전달해야 할 정보도 많아

가독성 및 여러분들의 지구력을 위해

총 3개의 게시물로 작성될 예정입니다.

해당 내용은 단순히 삼차함수 관련 문제를 풀 때뿐만 아니라

모든 수학Ⅱ 문제를 관통하는, 수학Ⅱ 이해의 뿌리가 되는 내용이니만큼

해당 내용을 눈 감고도 머릿속으로 떠올릴 수 있을 만큼

철저히 숙지해두시기를 바랍니다.

댓글과 좋아요 등으로 많은 분들이 유익한 글 볼 수 있도록 도와주시면

글을 작성하는 저에게도, 수능을 함께 준비하는 동지들에게도 큰 힘이 됩니다. 

위 내용에 대한 질문이 있으시다면,

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다음 칼럼의 주제는 

RC - [수학Ⅱ] 삼차함수 네모박스 < 01 다항함수의 도출 및 함수의 이해 (3/3) >

(링크)

입니다.

빠른 시일 내에 돌아오도록 하겠습니다.

감사합니다.