지수함수, 로그함수 그래프 빠르게 그리기 (대부분의 상황에서)

논리적으로 그리려면 쉽지 않습니다. 

(쉽지 않다는 거지 할 줄 몰라도 괜찮다는 뜻은 아닙니다. 연습하셔서 그리실 줄 알아야합니다!!)

물론 첫 과정은 x에 2x를 집어넣는, 다시 말해 원래 그래프에서의 어떤 y값을 얻기 위한 모든 x값들을 절반으로 줄인다는 확대와 축소의 관점으로 생각해볼 수도 있다만 큰 차이는 없습니다.

근데 우리가 잘 생각해보면 지수함수와 로그함수는 일대일대응, 즉 주어진 정의역과 치역에 있어 모든 정의역의 원소가 각각 하나씩 모든 치역의 원소로 대응되기 때문에 우리가 로그함수를 지수함수의 역함수로 정의하고 이 둘이 y=x에 대해 대칭 관계에 있음을 활용하고 있잖아요? 같은 원리로 지수방정식이나 로그방정식에서 output이 일치할 때 input도 일치함을 문제 풀이에 이용하고 있고?

정리하면 로그함수와 지수함수는 결국 무슨 변형을 해도 증가함수거나 감소함수라는 것입니다. 그리고 지수함수는 수평점근선, 로그함수는 수직점근선을 갖죠!

직관적으로 생각해보면 우리는 이와 같은 결과를 얻을 수 있습니다. 물론 이렇게 정의한다는 것을 미적분 수열의 극한 학습한 후에 배우고 저 극한을 증명할 방법을 후에 대학 와서 미적분 공부하실 때 '입실론-델타 논법'을 통해 공부할 수 있지만요

따라서 이와 같은 생각을 바탕으로 우리는 아래와 같은 그래프 그리는 방법을 정해볼 수 있습니다.

1번은 대략적인 개형을, 2번은 완벽한 개형을 잡게 도와줍니다. 개형 파악할 때는 y=a^x 혹은 y=log_a x 꼴에서 x에 -x 대입, y에 -y 대입을 통해 개형만 잡아주면 됩니다.

이후 우리가 지수함수와 로그함수의 성질을 보면, 지수함수는 지수가 0일 때 로그함수는 진수가 0일 때가 특별한 상황임을 알 수 있습니다. 이를 통해 지수함수는 기준점, 로그함수는 점근선을 잡을 수 있습니다. (엄밀히는 평행이동, 대칭이동을 한 이상 지수함수와 로그함수가 아닙니다. 지수함수를 변형한 함수이고 로그함수를 변형한 함수라고 말하는 것이 적절하겠으나 표현이 길어지니 단순하게 지수함수, 로그함수라고 하겠습니다.) 정리하면 다음과 같겠습니다.

이제 lim를 생각해주면 지수함수의 수평점근선을 찾을 수 있고, (진수)=1일 때를 생각해주면 로그함수의 기준점을 잡을 수 있습니다

말로만 하면 복잡하니 처음의 예시를 이에 따라 생각해봅시다.

기본형은 다음과 같습니다.

밑이 1보다 작으니 감소함수입니다. 극한을 적당히 조사해보면

가 될 것입니다.

기본형에서 우리가 그리고자 하는 함수를 바라보면 y는 그대로 y고, x만 -x가 들어간 꼴입니다.

어차피 우리는 개형만 알면 되니 x든 2x든 3x든 상관없이 ax냐 -ax만 확인해주면 되겠습니다.

(물론 y=log x나 y=log 2x 처럼 밑이 같은데 진수에 x 계수 비교가 중요한 상황에서는 고려해야할테지만

혹은 지수함수에서의 ax는 상수배로, 로그함수에서의 ax는 y축 방향 평행이동으로 해석해도 좋겠습니다.)

그럼 이런 느낌입니다.

로그함수는 진수가 0이 될 때를 특별한 상황, 수직점근선의 위치로 조사하자고 했으니 해보면 x=3/2일 때입니다.

그리고 진수가 1일 때를 기준점으로 잡기로 했으니 x=1일 때일 것입니다.

즉, 주어진 함수는 점 (1, 6)을 지납니다. 여기까지 한 후 그래프를 그려주면 다음과 같고

이제 점근선과 기준점을 생각해 x축과 y축의 위치를 잡아주면 다음과 같겠습니다.

보통은 그래프 그릴 때 x축, y축부터 그려두고 대칭이동과 평행이동을 고려해 그리는데

이것보다 점근선과 기준점을 생각해 그린 후 상대적인 x축, y축의 위치를 잡아주면 더 편할 때가 있습니다.

이처럼 그래프에서의 상대성을 고려할 때는 [2022학년도 고3 4월 20번] 같은 문항에서도 발견할 수 있습니다.

f(x) 개형을 잡아두고 마름모를 t값에 따라 움직여도 괜찮지만

마름모를 잡아두고 f(x)를 t값에 따른 상대적인 움직임으로 관찰해도 좋겠습니다.

이렇게 오늘은 지수함수와 로그함수에서 대칭이동과 평행이동을 통해 변형된 함수의 그래프를 빠르게 그려보는 방법에 대해 알아봤습니다. 진수에 일차함수가 들어가있을 때만, 다시 말해 대칭이동과 평행이동 (거기에 상수배?) 정도만 고려했을 때의 상황을 봤는데 만약 이차함수나 다른 함수가 들어가있을 때는 어떻게 조사할 수 있을까요?

이는 수학(하)에서 공부했던 합성함수의 그래프 증감 조사에 따라 생각해주면 되겠습니다.

물론 더 복잡한 형태는 미적분에서 합성함수의 미분법을 학습해 합성함수의 도함수의 부호로부터 원래 함수의 개형을 조사해야하기 때문에 수학1, 수학2 수준에서는 출제할 수 없을 것입니다.

이상입니다! 학습에 도움이 되었으면 하며 남은 오늘 하루도 파이팅하시기 바랍니다~