수학복수전공의대생 [1177692] · MS 2022 (수정됨) · 쪽지

2023-04-23 23:22:23
조회수 3,535

230615의 엄밀한 눈풀

게시글 주소: https://old.orbi.kr/00062777855

안녕하세요, 오늘은 수열에 대한 글이나 써 보려고 하는데요, 23학년도 6월 15번 문제를 간단하게 바로 풀 수 있는 법입니다. 제가 이 문제를 보고 떠올리고도 감탄했었는데, 바로 알려드리도록 하겠습니다.



여기서 수열 an을 살펴 보면 초항이 0이므로 위의 식을 따라갈 것이고, 그 다음에는 아래의 식을 따라가게 됩니다.


그런데 이때 a2 의 값은 k와 무관하게 양수가 된다는 사실을 알 수 있습니다. 그리고 다시 a3은 음수가 되죠. 


그렇다면 a2k+2=0이 되고, (2k+1)이 주기임을 알 수 있습니다. 왜 이것이 성립할까요? 


저 문제에서 끄집어내기 쉬운 강한 조건이 하나 있습니다. k와 k+1이 서로소라는 것입니다. 이 사실로 인해 1/(k+1)을 (k+1)번, 1/k를 k번 더했을 때가 최초로 0으로 회귀하는 지점이라는 것을 알 수 있습니다.(필요충분조건은 아니긴 합니다.) 이 정도를 머릿속으로 생각해 냈다면 눈풀로도 엄밀한 풀이를 할 수 있습니다! 이미 아시는 분들이 많은지는 잘 모르겠네요.



제가 만든 자작문제입니다. 다른 요소를 건드려서 더 까다롭게 만들고 싶기도 했지만 그냥 뒀어요. 풀어 보실 분은 풀어 보시기 바랍니다!

0 XDK (+0)

  1. 유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.