복소수

1, 2, 3, ... 이러한 수들은 자연수(Natural number)입니다.

1보다 1만큼 작은 수는 0입니다.

0보다 1만큼 작은 수는 -1이며

-1보다 1만큼 작은 수는 -2입니다.

이렇게 ... , -2, -1, 0, 1, 2, ... 와 같은 수들은

정수(Integer)입니다. 

그리고 두 정수 p, q를 활용하여

꼴로 나타내어지는 수는 유리수(Rational number)입니다. 

이때 6/3=2와 같이 약분 시 정수가 되면 그것은 정수,

5/3와 같이 약분이 되지 않으면 그것은 정수가 아닌 유리수로

분류하곤 합니다.

그리고 루트2와 같이 q/p 꼴로 표현할 수 없는 수는 

무리수(Irrational number)입니다.

유리수와 무리수를 통틀어 실수(Real number)라고 부릅니다.

그리고 이 실수에 제곱해서 -1이 되는 허수 단위(Imaginary unit)를 곱해

얻는 수를 허수(Imaginary number)라고 부릅니다.

그리고 실수와 허수의 합으로 이루어진 수를

복소수(Complex number)라고 합니다.

일반적으로 이 이차방정식의 해는 존재하지 않습니다.

하지만 해가 존재한다 가정하고 그것을 i라 정합시다.

이것이 허수 단위의 정의입니다.

그럼 이와 같은 생각이 가능합니다.

그래서 i를 루트-1이라 하냐 -루트-1이라 하냐

이야기가 나올 수 있는데 어느 쪽으로 생각하든

i를 통한 연산에는 변화가 없습니다.

그래서 보통 i=루트-1로 편하게 생각합니다.

허수는 bi 꼴입니다.

복소수는 a+bi 꼴입니다.

이러한 복소수를 우리는 복소평면(Complex plane) 상에

나타낼 수 있습니다.

평소에 접하는 직교좌표계 (Cartesian coordinate) 에서

x축을 실수축, y축을 허수축이라 생각할 때

x좌표는 실수 부분 a를, y좌표는 허수 부분 b를 설정해

점 (3, 5)와 같이 나타내는 것입니다.

후에 수학1 (2022 개정 교육과정부터는 대수) 에서 삼각함수를 배우거나

미적분 (고등학교 교육과정 밖) 에서 극 좌표계 (Polar coordinate) 를

배우시면 익숙해지실테지만 우리는 평면 상의 어떠한 점을

기준점으로부터의 거리와, 기준점과 점을 이은 선분이 기준선으로부터 

시계반대방향으로 얼마나 회전하였는지를 기준으로

나타낼 수도 있습니다.

이런 식으로요!

우선 여기까지만 알아봅시다.

어떤 복소수 z의 켤레복소수는 허수 부분의 부호만 반대로 

해준 복소수입니다. 다항식의 연산 공부할 때

덧셈, 뺄셈은 동류항끼리 해주었듯이

복소수의 연산도 덧셈, 뺄셈은 실수 부분끼리, 허수 부분끼리 해줍니다.

다항식의 연산 공부할 때 곱셈은 분배 법칙에 따라 해주었듯이

복소수의 연산도 곱셈은 분배 법칙에 따라 해줍니다.

(복소수에서도 교환, 결합, 분배법칙 성립합니다.)

무리수 배울 때 유리화 배웠듯이

복소수 배울 때도 유리화 합니다.

분모에 i가 보이면 합차 공식 적당히 집어넣어

보이지 않도록 해줍시다!

그리고 이러한 연산을 배우는데

"루트 안에 음수 있으면 i 활용해 빼준다"만 기억하시면 됩니다.

마찬가지로 "루트 안에 음수 있으면 i로 빼준다"만 기억하시면 됩니다.

이제 문제 두 개 풀어보겠습니다.

쎈 고등 수학(상) 1판6쇄 II-03 C단계 355번 변형입니다.

z_1, z_2는 복소수입니다.

따라서 a+bi 꼴로 나타내어 봅시다.

조건이 여러 가지 주어졌을 때는 하나씩 접근합니다.

먼저 A 조건부터 살펴보겠습니다.

미지수가 여러개일 때는 줄이는 것이 편합니다.

복잡한 세상 속 편하게 산다 생각하시면 됩니다.

따라서 A 조건으로부터는 다음의 정보들을 얻었습니다.

이제 B 조건을 살펴봅시다.

합차 공식으로 계산해주니 b=1입니다.

이때 a^2+b^2=4이므로 a=루트3 or a=-루트3입니다.

따라서 A, B 조건으로부터 다음의 정보를 얻었습니다.

이제 C 조건을 살펴봅시다.

a가 양수이므로 a=루트3임을 알 수 있습니다.

따라서 A, B, C 조건을 모두 고려하면 다음을 얻습니다.

이제 답을 내어줍시다!

답은 -4루트3 i 입니다.

다음 문제로 넘어가보도록 하겠습니다.

같은 문제집 361번 변형입니다.

뭔가 비슷한 것들끼리 있거나 거대한 것이 있을 때에는

치환해주면 좋습니다. 다양한 문자가 있지만 저는

정도의 대문자 X를 좋아합니다.

실제로 2022학년도 6월 미적분 30번을 현장에서 풀 때

alpha와 beta에 대해 정리해야할 식이 일치하기에

X로 치환하여 해결했던 기억이 있습니다.

그럼 다시 문제로 돌아와서...

함수 C(x)=1/x를 살펴볼 때 1이 방정식 C(x)=1의 유일한 해이므로

식을 한 번 정리해냈습니다.

다시 치환을 통해

식을 한 번 정리해내어줍니다.

이제 마지막입니다.

찐막~

따라서 방정식 C(B(A(A(x))))=1 의 해는 x=(1-루트3 i)/2임을

확인할 수 있었습니다.

p.s. 

아까 직교좌표, 극좌표, 복소평면 등에 대한 이야기를 했었는데

r을 복소수의 absolute value 혹은 modulus라고 합니다.

대충 이런 느낌!

그리고 @를 복소수의 argument라고 합니다.

대충 이런 느낌입니다.

그리고 실수 x에 대한 항등식 Euler's formula도 알아두시면 좋습니다.

이를 이용하여

복소수를 위와 같이 표현해볼 수도 있습니다.

p.s.2

자연수, 정수, 유리수, 실수, 복소수에서 더 나아가

사원수(Quaternion)를 정의할 수 있습니다.

이렇게 생겼습니다. 1, i, j, k는 4차원 벡터공간의 기저 벡터입니다.

이라는데 저도 잘 모르겠습니다. 4차원 얘기 나오는 것으로 보아

사원수가 우리가 공부하는 수학에서 등장하진 않을 것이고

순수 수학(Pure mathematics) 쪽에서 쓰일 것임을 

짐작해볼 수 있습니다. 실제로 그러한 것으로 알고 있습니다.

왠지 외적에서 등장하는, 3차원 공간의 단위 벡터 i, j, k와도 

연관이 있어 보이는데 이는 저도 잘 모르겠으니

더 공부해서 오겠습니다!!

2022 개정 교육과정으로 고1 수학에 행렬이 들어왔으니

2028 개정 교육과정 정도에는 외적, 공간벡터, 입실론-델타 논법, 

다변수함수의 미적분 (편미분, 중적분) 도 기대할 수 있지 않을까요?