허수 단위의 거듭제곱
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합의 기호 Sigma의 의미는 다음과 같습니다.
적분과 마찬가지로 dummy variable 적용
틀 깨기? 조금 섞어주면 아래처럼도 작성해볼 수 있겠습니다.
아무튼 이 정도로 하고...
허수 단위 i를 공부하고
복소수의 사칙 연산을 공부하고 나면
i의 거듭제곱이 지니는 규칙성에 대해
공부하게 됩니다.
이를 이용해 위 문제를 해결해봅시다.
쎈 B단계 문항이긴 한데
이 정도는 수학 문제 만드는 누구나 떠올릴 수
있을테니 따로 출처 남기지 않겠습니다.
궁금하시면 쎈 고등 수학(상) 구매해 찾아보시길...
i의 거듭제곱의 규칙을 고려할 때 위와 같이 묶어볼 수 있고
i랑 i^3은 결국 i의 실수배를 만들고
i^2과 i^4은 실수가 되니 이를 이유로 듭시다.
이제 하나씩 짝 지어주면
a+b=(-24+49)+(24-50)=-24+24+49-50=-1이 됩니다.
따라서 답은 1!
참고로 수학에서는 느낌표가 '팩토리얼'이라는 기능을
수행하기도 합니다.
참고로 저 pi를 크게 쓴 것은 곱의 기호 Pi가 맞습니다.
'프로덕트'라고 부르기도 하며 실제 오르비가 사용하는
LaTex 문법에서는 \prod 로 입력하시면 출력 가능합니다.
아까 이러한 형태의 자연수의 합을 4개 보았습니다.
잘 관찰해보시면 4씩 차이가 납니다.
1, 1+4, 1+4+4, 1+4+4+4, 1+4+4+4+4, ...
이런 느낌입니다. 이를 위해서 학습했던
합의 기호 Sigma로 정리해주면 다음과 같습니다.
이때 시그마 안에 들어가있는 식은
4k-3
입니다.
이처럼 어떤 자연수 n에 대해 pn+q로 표현된다면
n=1, 2, 3, 4, ... 를 대입하여 얻어지는 수의 나열을
등차수열이라고 합니다.
후에 수학1에서 (22개정에서는 대수) 수열을 공부할 때
대표적인 수열 두 가지, 등차수열과 등비수열에서 배웁니다.
등차수열의 항이 연속적으로 존재할 때
총 몇 개의 항이 존재하는지를 다음과 같이 정리할 수 있습니다.
즉, 크기 순으로 (작은 것부터든 큰 것부터든) 나열한 후에
주어진 등차수열의 항 중 가장 큰 항에서 가장 작은 항을 빼어
어떤 항과 다음 항 사이의 간격으로 나누어준 후
1을 더해주면 그것이 곧 주어진 항의 총 개수가 됩니다.
원리는 천천히 고민해보시면 어렵지 않게 확인하실 수 있습니다.
손가락 5개를 펴본다 생각하고 엄지부터 시작하여
몇 칸 건너가야 새끼에 도달하는지 생각해보시면
엄지 (첫째항) 로부터 4칸 (공차가 4개) 건너가야
새끼 (다섯 번째 항) 에 도달함을
확인 가능하십니다.
참고로 위에서 언급했던 등차수열 (arithmetic progression)에서
어떤 항과 다음 항 사이의 간격을 공통된 차이 (common difference),
줄여서 공차라고 부릅니다.
비슷한 방식으로 후에 등비수열 (geometric progression)에서
어떤 항과 다음 항 사이의 비율을 공통된 비율 (common ratio),
줄여서 공비라고 부르기도 합니다.
그래서 이와 같은 문항을 공부할 때
등차수열에 대한 이해 없이 설명하는 것은
문제를 완전히 바라보는 것이 아니라 생각하여
수학1의 내용을 조금 가져와
수학(상)의 i의 거듭제곱과 함께
다루어 봤습니다.
확인해보시고 깔끔한 수학(상) 학습,
그리고 수학1 예습을 마무리해보시면 좋겠습니다.
감사드립니다!
p.s.
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항의 총 개수 세는 법은 유용하군요..!잘 배워두겠습니다 선생님
고2 올라갈 때 윈터스쿨 수학 선생님께 배운 후로 유용하게 사용 중인... 수능 수학 공부하며 얻은 것 중에 일상 생활에서 가장 도움 되는 듯요 ㅋㅋㅋㅋ 자연수 중심 사고, 등차등비수열