-수II, [미소변화율을 논함 3] • 적용 편
게시글 주소: https://old.orbi.kr/00067262933
*좋아요와 팔로우는 필자에게 큰 동기부여가 됩니다 :D
바로 문제부터 보시겠습니다, 다음 두 문항을 보고 떠오르는 풀이의 방향성을 정해봅시다!
*다 해결하셔도 좋고, 풀이 방향성만 마음속으로 정하셔도 충분합니다!
1번 문제
-東京工業大学(도쿄공업대학) 본고사 중 발췌
14. a>0, t>0에 대해 정적분 S(a,t)를 생각합니다.
(1) a를 고정했을 때, t에대한 함수 S(a,t)의 최솟값 m(a)를 구하시오. [4점]
(2) 다음 극한을 계산하시오. [2점]
2번 문제
-18.03.30 수학 가형
30. g(x)의 극댓값과 극솟값의 차이를 구하시오. [4점]
다 정하셨나요?
제가 두 문제를 처음에 보고 든 생각을 그대로 적자면
"함수가 간단하네요? 피적분함수는 그릴 수 있다면 그려보는 편이 좋겠어요. ->
1번 문제는 조건에 따라 a를 상수 취급하고 t가 움직임에 따라 관찰해보고,
2번 문제는 x와 y=f(x)를 움직이며 관찰하면 되겠군요!
두 문제의 공식 해설은 다음과 같습니다.
(ハイレベル 数学iii•C 중 발췌)
역시 계산은 조금 많지만, 흠잡을 곳 없는 자명한 풀이입니다.
그치만 저희에게는 이전에 학습한 미소변화율 개념이 있고, 이를 이용한다면 단축할 수 있겠다는 생각이 드네요.
*못 보신 분들을 위한 이전 화 링크입니다.
-수II, [미소변화율을 논함] : https://orbi.kr/00066494675
-수II, [미소변화율을 논함 2] : https://orbi.kr/00066523574
두 문제 모두 절댓값이 끼어 있는 정적분으로 정의된 함수이기에, 구간을 나누어 넓이함수를 구하고 미분하는게 출제의도일 테지만,
적분 값을 넓이로 시각화하여 관찰하면 넓이함수의 증감을 바로 알 수 있어요.
2번 문제가 1번 문제의 업그레이드 버젼이기에, 2번문제를 분석하고 1번문제의 해설은 아래 Solution에 추가했어요
|f(t)-f(x)|를 구간 [0,x] 에서 적분한 함수가 g(x)이니
조금씩 x를 키워가며 넓이함수를 관찰하겠습니다.
이 행동의 핵심은 다음과 같습니다.
[0<x<1]일 때 x가 커짐에 따라 y=f(x) 기준선은 위로 올라가며, 넓이의 왼쪽 부분 A는 빨간 형광펜만큼 계속 증가함을 알 수 있습니다.
즉 g(x)는 [0<x<1]에서 증가합니다.
X=1을 넘어서는 순간 기준선 y=f(x)의 운동방향이 아래로 바뀌고, x가 진짜 엄청 미세하게 커짐에 따라 A부분의 넓이는 파란 형광펜만큼 줄고, B 부분의 넓이는 빨간 형관펜만큼 늘어납니다. * 파란 형광펜 부분을 dA, 빨간 형광펜 부분을 dB라 하겠습니다.
기준선이 아래로 이동한다고 할 때, 사진에서 더 움직여도 감소하는 넓이 dA가 증가하는 넓이 dB보다 크기에 총 넓이함수는 (1<x<1+ε) 에서 감소합니다. *(ε는 적당히 작은 양수)
즉 g(x)는 (1<x<1+ε) 에서 감소하며, X=1에서 넓이함수의 증감이 바뀌므로 x=1에서 극대입니다.
이후 언제가 넓이함수의 증감이 다시 바뀌는 지점일까요?
dA>dB일땐 쭉 감소하다가 dA = dB를 거쳐 dA<dB이면 증가하겠군요.
즉 넓이함수의 극소는 dA = dB 일 때겠군요. +(사족)이로 대강의 g(x)의 개형도 그려낼 수 있습니다
(TMI) 실제로 그린 g(x)의 개형 (A의 자취)
dA와 dB는 x좌표 차이가 가로인 미세한 직사각형인데, 세로는 함께 같은 속도로 움직이니 같다고 하면 x좌표차이가 같은 부분이겠군요.
X절편 차가 동일함 + 함수가 x=1 선대칭임을 이용하면 극소가 x=4/3에서 생김을 알 수 있고 적분을 계산하면 답을 얻을 수 있습니다.
Solution) 02번 문제
Solution) 01번 문제
(저는 1번 문제의 함수 표현 S(a,t)가 마음에 들더군요..! 한 변수 고정하는 부분을 언급하지 않았어도 두개 이상의 변수 *특히 기하(평면벡터)등에서 스스로 한 변수를 고정하고 다른 하나를 움직여 보면 좋아요! )
긴 글 읽어주셔서 정말 감사합니다! :D
정성이 들어간 글인 만큼 여러 번 연습하면 꼭 본인의 것으로 만들 수 있을거에요
0 XDK (+28,000)
-
17,000
-
5,000
-
5,000
-
1,000
-
전쟁사 이야기 70편 - 독립운동을 하면 3대가 망한다 1
혹시 다들 윤서인이라는 만화가를 아시는지 모르겠습니다. 저도 꼬꼬마 시절 인터넷을...
-
하이앤드도 다 푸셨나요 이거 왤케어려운
-
본인 확통 화작 쌍윤러 씹문과인데 이걸로 국1 수2 영2 탐탐1 뜨면 국교과...
-
60 -> 59 이게 체감 확 됨ㅋㅋ
-
남은 수시 카드 한장 서성한 라인 중에 쓰려고 하는데 한양대 미자공 전망이...
-
아무리 봐도 시간 멈추는 능력이 짱인듯 앵간한거 다할 수 있지 않나 수능보다가 시간...
-
막판에 수능 잘 보라고 말하는거 애바참치죠? 요즘 머릿속으로 ㅇㅇ아 수능 잘 봐라...
-
지방대 여학우들한테 선망의 대상임 ㄹㅇ임 지금 의치한악벳들 다 은근히 혜택 누리는데...
-
가천의 약술 0
대부분 지원하셨나요?
-
좆돴다
-
연애할 기회가 많아짐 그리고 허들도 상대적으로 낮음 근데 평범하면 그 기회는 자기가 만들어야함
-
.
-
동그라미 친 부분이 왜 -가 아니라 +가 나오나요? 뭔가를 잘못 생각하고 있는거 같은데
-
다들 어떻게 살고 계시는지
-
진짜선넘는거아니면차단은안함이런걸로 ㅇㅇ..
-
MBTI 바꼈다 2
INTP서 ENTP 되어버렸다 나도 이제 인싸 가능하냐 (E 51%로 E를 받으며)
-
스읍
-
둘다 바이오소재 관련 학과이고 부산대 밀양가면 본캠으로 전과 할 생각입니다…
-
한창 의대 증원 때문에 기회의 땅이다 이런 소리 많이 들렸는데 바뀐거 있나요?
-
한양대(낮은 공대) 서강대(기계) 경희대(기계) 건국대(전기) 홍익대(전기) 아주대...
-
교과세특에 넣을거라 굳이 진로랑 엮을 필요가 없어서 교과서 내용에서 심화 or 추가...
-
경희대는 좀 고민해보겠음.. 그냥 동국 / 외대 빡세게 준비하는것도 나쁘지않음..
-
도반이 있었다면 0
-
옯비끄고자야지 1
오늘 많이했다.
-
괜찮나요? 정환t 림잇이랑 임팩트 완강하고 마더텅 자연단원 풀고있는데 현자의돌...
-
.
-
너무 어려운걸 해서 그런건가...난이도를 좀 낮춰보는게 좋으려나 진짜 국영탐할땐...
-
작년보다 재학생 비율은 증가하고 엔수생비율은 감소한건가요?
-
졌네ㅋㅋ 0
해체해 그냥ㅋㅋ
-
확통 기출 1번 돌리고 쭉 엔제 풀었는데 9모 보니깐 기출 다시 봐야할 것...
-
나를 대할때랑 내옆의 친구를 대할때랑 얼굴 몸짓 말투 분위기 모든게 미묘하게 다른 건 정말 힘들었음
-
아무리 생각해도 연애는 중고딩때가 더 허들이 낮은거 같음 난 모솔이긴한데.....
-
갑자기 울적하네 2
-
자자 풀다 4시될수도
-
필자는 28분컷 50점인데 1컷 43은 좀 아닌거 같음 수능이라면 얼마정도 나왔을까 모르겠네
-
뭔가 맛있어보임
-
대학가면 몇몇 빼고 커플인줄 알았는데 몇몇 빼고 솔로임?....
-
제가 반수생이고 수능준비하고있습니다 논술공부는 현실적으로 수능까지는 수능공부밖에 못...
-
제히 한번만 들어주십쇼
-
고1때 친구한테 나 숙대 가고 싶어, 왜냐면 이대 여자랑 미팅하고 싶거든 이라...
-
많이 어려운가요..?(올해 정병호 쌤 커리타서 뭔가 풀고싶음)
-
동생놈이 생기부를 간호(이과)+보건 쪽으로 써놨는데 4.1이라 대학을 많이...
-
어그로글 하나 올리면 남자한테 쪽지 30개씩옴
-
수학최저 0
2합5를 수학, 영어로만 맞추는데 영어는 무조건 88점 이상 나와서 하루에 한 시간...
-
소개팅 발사대가 맞음 나도 미팅나가면 그냥 술친구되던데
-
진짜 대학 적응 못하고 가능성에 중독된 사람처럼 보임? 생각보다 커뮤하는 사람...
-
그때 빨간약좀 먹고 멘탈좀나갔어서
-
9모 기준 5등급이고 김승리쌤 강의 한 번도 들은 적 없는데 파이널 아수라 들어도 될까요?
-
우우우우
드디어 적용탄이 나왔군요 가장 기대하고있었습니다 진짜 이칼럼은 제 수학의 시각을 넓혀줬으니 잘보겠습니다
저야말로 영광이네요! 궁금하신 점 있으시면 편하게 물어봐주세요 :)
선댓후감
미소변화율 항상 재밌게 보고 있습니다
감사드려요 선생님 :)
이거보고 주머니에서 공이나 뽑기로했다
왜 평면으로 수선을 안내리고 그런걸
동경일공의 공 아닌가용
역시 수학고수
사설 실모나 엔제에서 많이 써먹었는데 많은 분들이 얻어가셨으면 좋겠네요~^^
Sec(x)
짖짜 뇌를 꺼내서 저한테 이식하고싶어요
대 약 연
약선생님 좋은 글 감사합니당
저야말로 도움이 되었다면 기쁘네요
우와!
대 대 대
한의대 걸어두시나요
약연님 시.반(국가권력엔수생어쩌고)님이 이거좀 물어봐달랍니다
강의는 마지막에 나온다고 전해달라네요
https://youtu.be/9EOzb5wCSN4?si=3B1ZDrTpoDF_flU-
g'(x)를 수식으로 표현할 때, 미소변화량을 세로가 적당히 작은 직사각형으로 근사하였다고 생각하면 가로 × 세로인데, 도함수의 정의가 접선의 기울기이고, 접선의 기울기를 삼각비로 표현하면 아래 그림처럼 델타h/델타x로 표현할 수 있고, 델타S = 길이 × 델타높이 인데 양변을 델타x로 나눠 표현하면
넓이의 미소변화량 = 가로길이 × 도함수가 되는군요!
단! 이 경우는 기준선의 운동방향이 축과 평행하게 고정되어 있어 미세한 직사각형으로 근사, 위와 같이 도함수를 직관적으로 뽑아낼 수 있는것이지, 미소변화율 칼럼 1편의 극좌표에서의 근사에선 사용하기 곤란하군요..
헉 이걸 이제보다니..
미소변화율 3도 잘 보고 갑니다..ㅎㅎ
저야말로 도움이 되었다면 기뻐요
영광이에요