수열 준킬러 1분 안에 푸는 방법 (2)
게시글 주소: https://old.orbi.kr/00067340401
과연 무조건 첫째항부터 나열하는 것이 항상 좋은 걸까요..?
또한 나열하면서도 시간과 과정을 조금이라도 단축시킬 수는 없을까요..?
등차수열이나 등비수열이 아닌 순수한 수열 문제에서,
모두가 알다시피 ‘일단 나열해놓고 보는 것’이 정말 중요합니다.
하지만, 문제의 방향성을 염두한 채로 나열하다보면 불필요한 시간을 훨씬 줄일 수 있습니다.
올해 6월 모의고사 15번입니다.
이 문제에서 모든 케이스를 구분짓는 핵심적인 요소는 의 부호입니다.
따라서 우리는 이 부호가 어떻게 전개될지에 모든 초점을 맞춰 풀이를 진행해야합니다.
먼저 모든 상황에서
으로 여기까지는 케이스를 나눌 필요가 없어보입니다.
이제 여기서부터 케이스를 나누어야합니다.
이제 k=1부터 k를 1씩 올려가며
등의 부호에 따른 케이스를 나누어보아야합니다.
상당히 번거로운 과정이 될 것 같습니다.
그 전에 풀이를 단축시켜줄 수 있는 규칙성이 있는지 살펴보는 것이 좋을 것 같습니다.
먼저, 과연 모든 항들의 부호가 서로 독립적일까요..?
혹시나 에 숨겨진 규칙이 있는지 살펴봅시다.
위와 같이 식을 변형해보고, 이 세 가지만 놓고
각각의 경우에 어떻게 전개되는지 대략적으로만 살펴봅시다.
만약에 이라면
이므로
입니다.
즉, 음수항 다음 항이 양수항이라면 그 다음 항은 다시 음수항이 됩니다 ... ㄱ
또한,가 전부 음수라면
"어..? 그렇다면.?"
... 이를 통해, 음수항에서 양수항으로 바뀔 때까지
음수항(이후 첫 양수항도 포함)에서 각 항들끼리의 차이는 공차가 2인 등차수열임을 알 수 있습니다 ... ㄴ
마지막으로, 만약 3~6번째 항에서 0이 하나라도 나온다면
이므로 더 살펴볼 필요가 없습니다
... ㄷ
우리는 ㄱ, ㄴ, ㄷ세 가지를 염두한 채로 최대한 빠르게 모든 경우들을 파악해볼겁니다.
k=1일 때,
이므로
성립X (- + + -) (ㄱ 활용)
k=2일 때이므로
성립X (ㄷ 활용)
k=3일 때, 이므로
성립O (- + - -)
k=4일 때, 이므로
성립X (ㄷ 활용)
k=5일 때,이므로
성립O (- - + -) (ㄱ, ㄴ 활용)
k=6일 때, 이므로
성립O (- - - +) (ㄱ, ㄴ 활용)
k=7일 때, 이므로 성립X (- - - -) (ㄴ 활용)
k>7일때도 전부
(- - - -)일 것입니다.
따라서 가능한 k는 3, 5, 6 뿐입니다.
우리는 나열을 하면서도, 몇가지 규칙을 미리 염두해두어 케이스를 나열하는 시간을 줄이는데 성공했습니다.
한 문제만 더 살펴봅시다. 2023년도 수능 15번입니다.
이 문제에서는, 모든 케이스를 구분짓는 핵심적인 요소는
이 3의 배수인지 아닌지의 여부입니다.
먼저, (가)를 보고
은 3의 배수가 아니기에
일 것이라고 먼저 확정해야합니다.
(나)를 본 뒤,
이미 모두가 알고 있는 ‘일단 넣고 보자’ 식으로
먼저 대입을 해봐야 합니다.
그러나, 만약을 시작으로 전개를 하려고 하면,
너무 많은 경우의 수가 나옵니다.
그래서 보통 해설을 보면 통상적으로부터 역추적하는 방법을 사용하곤 합니다.
그러나, 현장에서 이 문제를 직면했을 때 부터 역추적하는 것은 상당히 리스크가 있습니다.
어디까지 역추적해야 문제가 끝날지
해보기 전까지는 모르기 때문입니다.
(물론 결론적으로는 5번째 항까지만 살펴보아도 답이 나오도록 문제가 설계되었지만,
저의 경우 문제를 처음 현장에서 직면했을 때 역추적이 언제 끝날지 모르는 불확실성을 회피하고자 아래와 같은 방법을 사용했습니다.)
그렇다면 우리는 어디를 시작으로 전개해보아야 할까요?
모릅니다.
무슨 소리냐고요?
우리는 어느 항들이 3의 배수를 가지는지조차 모르고,
안다고 한들 그 항에 3분의 1을 곱했을 때 또 다시 3의 배수가 나올지 아닐지조차 모릅니다.
그래서 우리는,
3의 배수이면서, 1/3을 곱했을 때 더 이상 3의 배수가 아니게 되는 어떤 항을
k번째 항이라고 가정해놓고,
라고 설정한 뒤 거기서부터 나열해보는겁니다.
이렇게 설정해놓은 뒤 라고 하면, 문제없이 1~k번째 항은 자연수가 되므로 ‘모든 항이 자연수인가?’에 대해서도 걱정할 필요가 없습니다.
이제 에서부터 전개해보면
... 5항 주기로 반복됨을 알 수 있습니다.
이므로, 40이 1, 4, 5의 배수임을 고려해보면
또는
또는
을 만족할 것입니다.
k=4일 때,
그러므로
k=5일 때,
그러므로
k=6일 때,
그러므로
따라서의 최댓값과 최솟값의 합은 224입니다.
순수한 귀납적 추론을 요구하는 수열 문제에서
‘나열하면서 규칙 확인해보기’는 필수입니다.
그러나, 단순히 아무 생각없이 나열하는 것 보다는
상황에 따라 어떤 식으로 흘러갈지 대략적으로 추측해보고,
부호 / 3의 배수 여부 등 문제의 상황을 가르는 핵심 요소에 집중하여 이와 관련된 성질을 미리 파악하고
나열을 시작하면 훨씬 문제를 푸는 과정과 시간이 단축됩니다.
그렇다고 해서, 귀납적 추론을 요구하는 문제에서 ‘규칙을 반드시 찾고야 말겠어’라는 생각으로,
나열을 하지도 않은 채 모든 규칙을 찾아내려고 무모하게 시도하는 것은 오히려 시간 낭비일 수 있으므로
귀납적 추론을 베이스로 깔고 가되, 언제나 문제의 방향성을 염두해 둔 채로 수열 문제에 접근했으면 좋겠습니다.
현재 저희 Team BLANK의 기출문제집 제작이 70% 이상 완성되었습니다.
저희는 기출문제집은 엄밀한 논증 또는 해설지다운 해설보다,
직관을 사용하여 최대한 간결하고 깔끔하게 문제를 해결할 수 있는
해설을 여러분들께 제공합니다.
많은 관심 부탁드립니다 :)
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
수2 쉬워진거임?? 6모때쯤에 시즌1풀고 지금 시즌2 풀고있는데 시즌1이 더 시간도...
-
원래 비문학 뜨면 머리로 대충 그려가면서 이해하는데 양력은 걍 아는게 없으니까...
-
논술특 1
1월부터 배울때:느는것 같고 각이 잡힘 논술 GOSU가 될꺼야! 현재:우우 맨날...
-
쩝 하필 리스닝 파티에 올드칸예가 스페셜 게스트로 와 버려서 묻힌 거 같기도
-
평가원 해설 유료강의로 여는 강사도 패스로 들을 수 있게 해주는데
-
빨리 끝낼생각없었는데 똥마려워서; 독서론 1 독1 문2 깔끔하네요
-
자신감이 떡락함...
-
텔레그램에서 수학방 운영중인 현진이라고해!...
-
슬프도다.. 인생이..
-
의대 정원 확대에 'N수생' 21년만 최대될 듯…17만8천명 예상 8
종로학원 추정치…"서·연·고 자연계열, 의대 중복 합격 수 늘 듯"...
-
하 ㅈ됐네
-
다들 저거 얼마나푸세요? 1주일에 1번? 2번? 샀는데 양 가늠이 어려움
-
8덮 수학 집모 봤는데 기하 92점임 22 30 틀림 90분잡고 풀어서 그런지...
-
세피아니 시마이코미
-
솔직히 살만한데 ... 강민철은 제외하고 나머지랑 비교해봐도 훨씬 자세한데
-
아 상쾌해
-
사차함수다
-
개강하기 전에 미리 전공공부해서 개강해지기
-
ㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡ 26번 1. 마지막 문단 보면 물 가운데에 산다는...
-
이퀄모 수학 ? 1
삼수생인데 이렇게 좌절스러운 30번은 간만에 보네 물론 미적분.
-
약간 최예나 느낌도 나고 경서 느낌도 남 진짜로
-
심찬우 풀커리 가격 수준 373
총 414,400원.. 메가패스보다 가격이 더 나갑니다.. 열심히 해설 쓰신 건...
-
이번에 확통런한 재수생인데 5월달에 런하고 이제 뉴런듣고 다듣고 거의 수분감 1회독...
-
언매에서 4개 틀렸는데 4개가 다 매체야...
-
2024-2학기 방통대 입시에서 유일하게 경쟁률이 1을 넘은 학과/전형 다섯곳이...
-
9월 27일날 가을 향이 났다고 적혀있는데 약 한 달 남았네요
-
수1 수2는 내신베이스 가지고 아무것도 안하고 미적은 뉴런만 끝내고 바로 실모랑...
-
안녕하세요 제 상태를 말씀드리자면 현역 국어 4등급이고, 선택과목+문학은 넉넉히...
-
성적표 학교에 연락해야 받을 수 있나요? 아니면 평가원에 팩스 보내거나…? 뒤늦은...
-
메디컬 같은 고급 자격증 아니더라도 간호 / 교대 / 사범대 / 사복 뭐 이런 곳…...
-
코로나 0
이거 걸려보니까 진짜 힘드네 ,, 그냥 진짜 일상생활이 안되는정도 ㅠㅠ
-
강케이 6회 언매 11
-
아니 8덮 국어 쉬웠다는 평이 많던데 77점 이게맞나;; 왤케 사설만 못보지 스카에서 풀어서 그런가
-
원서접수지역과 응시지역이 다를수도 있나요? 제가 군인이라 응시는 복무지 근처에서...
-
그러다가 전과 실패하면 걍 ㅈ되는 거 아닌가… 복전을 플랜B로 생각하고 가시는건가요...
-
늦버기 16
일요일은 공부 유기
-
ㅈㄱㄴ
-
수 상 6 9 집모로 넉넉하게 2등급나오는데 복습필요한가요? 킬러에서 막힙니다....
-
올해 6월 성적이구요 국어랑 수학 표점이 각각 117 123이었던 걸로 기억하고...
-
남자는 고자되고10억받기vs그냥살기하면 거의다 후자인데 여자들은 전자더라고
-
상상 배달 뭐임 1
-
엔티켓 1 풀고있는데 정답률 80정도는 나오는거 같아서요 약간만 더 어려운 거...
-
저도 레어 달았어요!! 21
너무 예쁘네요☺️ 덕코를 후원해주신 여러분 정말 고맙습니다!! 특히 라유님께는...
-
개사긴데 전혀 몰랐음 ㅋㅋㅋ
-
8덮 언미영지1물2 76 72 83 37 40 이게 사람 점순가 ㅋㅋㅋㅋㅋ설전정 내놔
-
김승모 9평대비 2회(5회차) 언매 75점이네ㅋㅋ 이게 시험치기 전에 좀...
-
농협대 1
요즘 분위기 안좋은거같던데 수도권 취업 진짜 막혔나요??
-
4000부 판매돌파 지구과학 핵심모음집을 소개합니다. (현재 오르비전자책 2위)...
![](https://s3.orbi.kr/data/emoticons/rabong/001.png)
수열 꿀팁 개추기출문제집 정말 기대가 되는군요
헉
![](https://s3.orbi.kr/data/emoticons/2020_foolsday/oribi/006.gif)
바로구매할게요8개년 평가원기출을 수록한다 하셨는데, 선별문제들인가요?
아님 8개년 평가원 준킬러,킬러를 다 포함하신 문제집인가요?
빨리 나왔으면..ㅠㅜ