Strong convergence of Kleinian groups

Theorem 1 (Conformally peripheral pinching implies strong convergence). Let $\Gamma$ be a convex-cocompact Kleinian groups and $N = \Bbb H^3/\Gamma$. Let $X_i\in\mathcal{T}(\partial_\infty N)$ be the conformal boundaries associated to a sequence of quasi-conformal deformations of $\Gamma$ which converge algebrically to $\Gamma_A$. Then the convergence is strong if the hyperbolic lengths $l_{X_i}(\delta)$ tends to zero for every conformally peripheral $\delta\in\Gamma_A$.

Theorem 2. Let $\Gamma$ be a convex-cocompact freely indecomposable Kleinian group. Let $N = \Bbb H^3/\Gamma$ and let $X_i\in\mathcal{T}(\partial_\infty N)$ be the conformal boundaries associated to a sequence of quasi-conformal deformations of $\Gamma$ which converge strongly to $\Gamma_A$. Then the hyperbolic lengths $l_{X_i}(\delta)$ tends to zero for every conformally peripheral $\delta\in\Gamma_A$.

Lemma 7. Let $\rho_i:\Gamma\to\mathrm{PSL}_2\Bbb C$ be a sequence of discrete faithful representations converging algebraically to $\rho:\Gamma\to\mathrm{PSL}_2\Bbb C$ and geometrically $\rho_i(\Gamma)\to\Gamma_G$. Let $\pi: M = \Bbb H^3/\rho(\Gamma)\to\Bbb H^3/\Gamma_G$ be the covering and $\{h_i:Z_i\to M_i\}$ be a sequence of BiLipschitz appproximates of $M_G$. Suppose $K\subset M$ is a compact subset which contains the basepoint $p$ of $M$ and $\pi_1(K,p)$ injects into $\pi_1(M,p) = \rho(\Gamma)$. Then for large $i$, $(h_i\circ \pi)_* = \rho_i\circ\rho^{-1}$ on $\pi_1(K,p)$.

보통 Lemma 7은 $K$를 (relative) compact core인 경우를 사용함. 이 경우에는 $h_i\circ \pi$와 $\rho_i$가 "거의 같다" 라고 말하는 것.

Proposition 4. Let $\rho_i:\Gamma\to\mathrm{PSL}_2\Bbb C$ be a sequence of discrete faithful representations which converges algebraically to a tame representation $\rho:\Gamma\to\mathrm{PSL}_2\Bbb C$ and $\rho_i(\Gamma)\to\Gamma_G$ geometrically. If no maximal parabolic subgroup of $\rho(\Gamma)$ of rank 1 is contained in a parabolic subgroup of $\Gamma_G$ of rank 2, then there is a core $K$ of $M$ such that

(1) $\pi|_K$ is injective;

(2) $K$ contains a neighborhood of every geometrically infinite end of $M$;

(3) $K$ is contained in the interior of the convex core of $M$ if $\rho$ is not Fuchsian; and

(4) if $Q$ is a cusp of $M$, then $Q\cap K\neq\emptyset$ and $\partial K\cap Q$ has 0, 1 or 2 components, each of which is totally geodesic in $M$.

Statement에서 가장 중요한 포인트는 (1)인 injectivity 파트로, algebraic limit의 core $K$가 geometric limit $M_G$로 embedding이 된다는 것이다! 나머지 (2) - (4)는 (1)에 비해서는 extra로 당연히 요구할 수 있는 성질이다.

Rmk. 1. maximal parabolic subgroup of $\rho(\Gamma)$ of rank 1이 $\Gamma_G$의 rank 2 subgroup에 포함되지 않는 것을 체크하기 위해서는, 이 $\Gamma_G$의 rank 2 subgroup들 중에 (up to conjugacy로) geometrically infinite end의 fundamental group의 subgroup으로 들어가지 않는다는 것만 체크하면 충분하다. 이유는 Canary의 covering lemma의 consequence에 의한 것으로, $\pi$을 geometrically infinite end에 restrict 시켰을 때 injective하다는 사실 때문. (이거 자체로도 상당히 흥미로운 사실이어서 따로 증명을 다른 포스트에서 할 예정이다. Geometrically infinite end의 covering에 대해서 이야기하는 covering lemma이지만, injectivity를 바로 이야기 해주진 않는다.)

2. 만약 $\rho(\Gamma)$의 domain of discontinuity가 공집합이라면, 또한 Covering lemma의 consequence중 하나가, 이 경우에는 convergence가 strong하다는 것이 알려져 있다. 이 경우에는 $K$를 $M$으로 잡으면 된다. Strong convergence를 찾는 것이 이 논문의 핵심으로 상당수의 경우에 domain of discontinuity가 nonempty일 때를 가정하고 증명한다.

3. 만약 $\rho$가 Fuchsian이라고 하면, convex core는 2차원으로 degenerate되기 때문에, $K$는 convex core의 $\epsilon$-neighborhood라고 생각하면 된다.

   Proposition 4의 상황에서, core $K$를 cusp과 geometrically infinite end를 바라보는 surface들을 따라서 적절히 쳐내면, $M_G$에 embedding하는 relative compact core를 얻는다.

Corollary 2. Under the assumptions of Proposition 4, the following holds. For every $\epsilon>0$ less than the Margulis constant, there is a relative compact core $(K(\epsilon),P(\epsilon))$ of $M^{\geq\epsilon}$ such that

(1) $\pi|_{K(\epsilon)}$ is injective;

(2) $\pi$ is injective on each component of $M^{\geq\epsilon}-K(\epsilon)$ which represents a geometrically infinite end;

(3) $K(\epsilon)$ is contained in the interior of the convex core of $M$ if $\rho$ is not Fuchsian; and

(4) if $\epsilon'<\epsilon$, then $K(\epsilon)\subset K(\epsilon')$ and the boundary of every component of $K(\epsilon') - K(\epsilon)$ is the union of a component of $P(\epsilon)$, a component of $P(\epsilon')$ and two totally geodesic annuli.

Rmk. (2)에서 injective로 바뀐 것은, 앞서 말했듯이 covering theorem의 consequence에 의한 것. 앞서 말했지만 중요한 포인트는, algebraic limit의 rank 1 cusp이 geometric limit의 rank 2 cusp을 cover하지 않는다고 하면, algebraic limit에 적절한 relative compact core가 존재해서, geometric limit에 embedding이 되는 장면을 연출 할 수 있음.

   가정에 의해서 sequence $M_i = \Bbb H^3/\rho_i(\Gamma)$가 $M_G = \Bbb H^3/\Gamma_G$의 geometrically convergent한 sequence이기 때문에, 정의에 의해서, 어떤 sequence of biLipschitz diffeomorphism $\{h_i:Z_i\to M_i\}$ 이 존재함. 여기서 $Z_i$는 $M_G$의 smoothly embedded submanifold. Lemma 7에 의해서, 큰 $i$에 대해서, $(h_i\circ \pi)_* = \rho_i\circ\rho^{-1}$ on $\pi_1(K(\epsilon))$이 됨. $\rho(\Gamma) = \pi_1(M) = \pi_1(K(\epsilon))$이기 때문에, $K_i(\epsilon):= h_i\circ \pi (K(\epsilon))$는 $M_i$의 compact core가 됨. 따라서, 만약 $\rho(\gamma)$ for $\gamma\in\Gamma$가 parabolic이라고 한다면, $\rho_i(\gamma)\in\rho_i(\Gamma)\simeq\pi_1(M_i)$는 $K_i(\epsilon)$의 boundary에 closed curve로 represent가 됨. 다시 말해서, $M_i$에서 peripheral element로 represent가 된다는 뜻으로, 여기서 어떤 $\pi_1$의 element $\gamma$가 peripheral하다는 것은, boundary of compact core의 closed curve로 represent가 되는 경우를 뜻함. 참고로 compact core는 up to homeomorphism으로 unique하기 때문에, 정의는 compact core의 choice에 의존하지 않는다. 이 사실을 좀 더 formal하게 쓰자면 다음과 같다:

Corollary. Under the assumption of Proposition 4, in particular, no rank 1 cups of the algebraic limit covers the rank 2 cusp of the geometric limit, then if $\rho(\gamma)$ is parabolic for some $\gamma\in\Gamma$, then $\rho_i(\gamma)$ is peripheral for some large $i$.

여기서 주목해야할 것은, 우리는 Proposition 4의 가정을 썼다는 것이다. 일반적으로는 어떤 element가 peripheral하다는 것은 algebraic topology에서 보존 되지 않는다. 다시 말해서, $\rho_i(\gamma)$가 peripheral하다고, $\rho(\gamma)$가 peripheral할 필요는 없다. 물론 위의 corollary는 이게 된다고 주장하는 것은 아니다. 사실 위의 결론은 Proposition 4의 가정 없이도 일반적으로 성립한다. 하지만 cups에 대한 가정이 빠지면서, 더 이상 Proposition 4를 사용할 수 없음, 다시 말해서 위의 Corollary처럼 compact core를 그냥 잡을 수 없기 때문에, 좀 다른 방법을 사용하게 되고 좀 더 복잡함.

Proposition 5. Let $\rho_i:\Gamma\to\mathrm{PSL}_2\Bbb C$ be a sequence of discrete faithful representations which converges algebraically to a tame representation $\rho:\Gamma\to\mathrm{PSL}_2\Bbb C$. If $\rho(\gamma)$ is parabolic for some $\gamma\in\Gamma$, then $\rho_i(\gamma)$ is peripheral for large $i$.

   Proposition 4와 5의 증명은 기본적으로 비슷한 세팅에서 시작을 함. 기본적으로 사용할 재료는 밑에 써놓을 Proposition 6과 Lemma 8로, 아이디어는 $M$ 자체의 compact core를 $M_G$에 embedding을 시키지 못하기 때문에, Proposition 4를 만족할 만한 작은 조각들로 $M$을 조각을 낸 다음에, 각각을 $M_G$에 embedding을 시키고, 각각의 piece들을 다시 잘 붙여서 하나의 compact core로 바꾸는 것. 먼저 Proposition 6, Lemma 8을 state하기로 함. 그전에 statement에 등장할 용어들을 먼저 설명하기로 함.

Definition. 1. A web group is a finitely generated Kleinian group whose domain of discontinuity contains at least 3 components (so infinitely many) and such that the stabilizer of each component subgroup is quasi-Fuchsian. In particular, the boundary of each component is a Jordan curve. 

2. A generalized we group is a finitely generated Kleinian group with nonempty domain of discontinuity such that each component is a Jordan domain.

3. A generalized web subgroup $G'$ of a Kleinian group $G$ is precisely embedded if the stabilizer of $\Lambda(G')$ in $G$ is $G'$ and if for every element $\gamma\in G$, there is a component of $\Omega(G')$ whose closure contains $\gamma(\Lambda(G'))$.

4. A system $(G_1,\ldots,G_k)$ of generalized web subgroups of $G$ is precisely embedded if each $G_j$ is precisely embedded and if for every $\gamma\in G$ and $j\neq k$, there is a component of $\Omega(G_j)$ whose closure contains $\gamma(\Lambda(G_k))$.

5. If $(R,P)$ is a relative compact core of a hyperbolic manifold $\Bbb H^3/G'$ and $G'$ is a subgroup of a larger Kleinian groups $G$ such that $R$ embeds into $\Bbb H^3/G$ under the associated covering map $\pi$, we call the image $\pi(R)$ a relative compact carrier of $G'$.

5의 정의에서 중요한 것은 $R$이 $\Bbb H^3/G$에 embedding이 된다는 것. 이렇게 되면, $\pi(R)$은 $\Bbb H^3/G$의 full relative compact core가 되지는 못하지만, 그것의 일부분이 될 수 있다는 것. 우리의 목표는 relative compact carrier들을 잘 골라서 geometric limit에 embedding을 시킨 다음에 잘 이어 붙이는 것.

Lemma 8. Let $G$ be a finitely generated, torsion-free Kleinian group whose domain of discontinuity is non-empty and whose limit set $\Lambda(G)$ is connected. Let $(R,P)$ be a relative compact core of $N = \Bbb H^3/G$. If there is no essential annulus in $R$ with one boundary component in an incompressible component of $\partial R-P$ and the other in $P$, then $G$ is either a generalized web group or a degenerate group without accidental parabolics.

위의 Lemma 8의 가정은 이후 $M$을 조각내는 기준이 되는 보조정리로, 각 조각들의 $\pi_1$이 generalized web group이나 degenerated group without accidental parabolic이라는 것을 보장해준다. 이것이 뒤의 Proposition 7을 적용하기 위한 setup 이라고 볼 수 있다. 참고로 "essential annulus in $R$ with one boundary component in an incompressible component of $\partial R-P$ and the other in $P$" 이라는 것은, 하나의 end에 해당되는 surface에서 rank 1 cusp으로 인해 하나의 "neck"이 pinched되어 있는 상황을 생각하면 된다. 그림으로는 다음과 같다.

Proposition 6. If $G'$ is a precisely embedded generalized web subgroup of a Kleinian group $G$, then there is a core $K$ of $\Bbb H^3/G'$ which embeds into $\Bbb H^3/G$ under the covering $\Bbb H^3/G'\to\Bbb H^3/G$ and which satisfies properties (1) - (4) from proposition 4.

If $(G_1,\ldots,G_k)$ is a precisely embedded system of generalized web subgroup of $G$, then there are cores $K_1,\ldots,K_k$ of $\Bbb H^3/G_1,\ldots,\Bbb H^3/G_k$ as above such that the images in $\Bbb H^3/G$ are pairwise disjoint.

궁극적으로 사용될 proposition으로 $G_i$들은 위에서 조각낸 component들의 $\pi_1$들이고 $G$는 $\rho(\Gamma)$가 될 것이다. Proposition 6의 가정을 만족하기 위해서 밑의 Proposition 7을 사용한다.

Proposition 7. Let $\{G_1,\ldots,G_k\}$ be a collection of generalized web subgroups of a Kleinian group $G$. Suppose there exists a disjoint collection $\{R_1,\ldots,R_k\}$ of submanifolds of $N = \Bbb H^3/G$ such that for all $j$, $R_j$ is a relative compact carrier of $G_j$, and if $R_j$ is an $I$-bundle, then no component of the closure of the complement of $R_j$ in the non-cuspidal part of $N$ is a compact twisted $I$-bundle whose associated $\partial I$-bundle lies in $\partial R_j$. Then $\{G_1,\ldots,G_k\}$ is a precisely embedded system of generalized web subgroups of $G$.

Proposition 7에서의 topological restriction은 상당히 복잡하다. 하지만 우리가 밑에서 만들 $R_j$에 해당되는 topological한 상황은 아니다.

Setup for the proofs of Proposition 4 & 5.

   다시 리마인드 하자면, $M$은 $\rho_i$의 algebraic limit이고, $M_G$은 geometric limit이다. 먼저, $\Lambda(\rho(\Gamma))$가 connected라고 하자. $(R_0,P_0)$를 $M$의 relative compact core라고 하자. 이제 $M$을 Lemma 8의 가정을 만족시키 위해 조각을 내는데, $\mathcal{A} = \{A_1,\ldots,A_k\}$를 maximal collection of disjoint, nonparallel, essential annuli in $R_0$ such that for each $i$, one boundary component lies in $P_0$ and the other lies in an incompressible component of $\partial R_0 - P_0$라고 하자. 이제 저 annuli들을 기준으로 "compressing" 한 component들을 $\{R_1,\ldots,R_n\}$라고 하자. 다시 말해서 $R_0 - \bigcup\mathcal{U}(A_i)$ 들의 component들을 말하는 것으로 여기서 $\mathcal{U}(A_i)$는 $A_i$의 small regular neighborhood를 말한다. 위의 그림을 마음에 담아두고 보면, 결국에는 하나의 뿌리에서 rank 1 cusp들로 인해서 여러개로 나눠지는 end들 각각을 구분해서 잘라내는 역할을 한다. 이제 $G_j = \pi_1(R_j)$, $P_j = R_j\cap P_0$라고 하자. 그러면, Bass-Serre tree 용어를 쓰자면, $\rho(\Gamma)$를 vertex들을 $G_j$, edge들을 cyclic parabolic subgroup들로 갖는 graph of groups들로 나타나게 된다.

이제 Lemma 8을 적용해서 $G_j$들을 generalized web subgroup 혹은 degenerate group without accidental parabolic인 것을 보이도록 하겠음. 각각의 $j$에 대해서, $(R_j,P_j)$는 $N_j : = \Bbb H^3/G_j$의 relative compact core로 lift가 된다. 자 만약에 $\partial R_j - P_j$의 component가 incompressible 하다면, 그 boundary surface가 바라보는 end는 quasi-Fuchsian 혹은 degenerate end이기 때문에, 그에 대응되는 limit set은 connected이다. 만약 $\partial R_j - P_j$의 component $S$가 compressible하다면, 이제는 limit set의 connectedness를 바로 결론내릴 수는 없지만, $S$는 $\partial R_0 - P_0$의 compressible component로 lift가 된다. 근데 $\Lambda(\rho(\Gamma))$의 connectedness 때문에, 그 $S$가 바라보는 compressible end는 geometrically infinite이 된다. (만약 geometrically infinite이 아니라면, compressible end에 해당되는 domain of discontinuity는 infinitely connected가 된다. 이러한 disconnectedness가 $M$의 domain of discontinuity에도 그대로 반영이 되기에, limit set이 hemisphere 전체를 꽉 채우는 degenerate case이어야 한다) 이제, construction에 의해서, $R_j$는 한쪽 boundary는 $P_j$에 들어있고, 다른 한쪽 boundary는 $\partial R_j-P_j$의 incompressible component에 포함되는 essential annulus는 존재하지 않는다. 따라서 Lemma 8에 의해 $G_j$는 generalized web subgroup이거나 degenerate group without accidental parabolic이 된다.

이제 $G_j$를 다시 넘버링을 해서, $1\leq j\leq l$ 까지는 generalized web subgroup, $l< j\leq n$까지는 degenerate group이라고 하자. 이제 Proposition 7에 의해서 $(G_1,\ldots,G_l)$은 system of precisely embedded generalized web subgroup of $\rho(\Gamma)$가 된다. 따라서, Proposition 6에 의해서 적절한 core들 $K_1,\ldots,K_l$ of $\Bbb H^3/G_1,\ldots,\Bbb H^3/G_l$이 존재해서, $M$에 disjoint하게 embedding이 된다. 각각의 $K_j$들은 적절히 deformation retract을 해서 $\Bbb H^3/G_j$의 convex core에 들어있도록 조절할 수 있다. 따라서 projection을 하면 $M$의 convex core에 들어가게 된다.

이제 여기서 내가 좀 확신이 없는 것이, 논문에서는 Anderson, Canary, McCullough의 "The topology of deformation spaces of Kleinian groups" 을 인용하면서, 거기에 Theorem A의 증명과 유사하게, $(G_1,\ldots,G_l)$이 geometric limit의 subset으로서도 precisely embedded system of generalized web sugroup이라고 하는데, 내가 저 논문을 일어본 적이 없고, 논문 수준이 좀 높아서 (Annals paper다) 저 부분의 증명을 정확히 추출하기에는 좀 어려워서, 나중에 저 논문을 읽게 되면 그때가서 증명을 추가해보기로 함. 암튼, Proposition 6에 의해서 필요하다면 적절히 deformation retract를 더 해서 $K_1,\ldots, K_l$는 $M_G$에서도 disjoint subset으로서 disjoint하게 embedding이 된다.

이제 degenerate group들 $G_{l+1},\ldots,G_n$을 고려해보자. 그러면, Tameness에 의해서, $\Bbb H^3/G_j$들은 어떤 surface $F_j$에 대해서 $F_j\times\Bbb R$과 homeomorphic하고 한쪽 end는 degenerate이고 다른 한쪽은 quasi-Fuchsian 인 경우다. Algebraic limit의 geometrically infinite end는 geometric limit에 covering map에 대해서 embedding이기 때문에, 위의 $\Bbb H^3/G_j$의 geometrically infinite end들의 각각의 neighborhood들 $K_j$는 $M_G$에 embedding이 된다. 위에서 generalized web의 경우에는 disjoint하게 embedding되는 것을 Proposition 6이 보장해줬지만, degenerate인 경우에는 보장해주지 않는다. 하지만 degenerate end들이 만약 disjoint하지 않는다면, 우리가 end가 갈라지는 pinching되는 경우를 모두 annuli들을 따라서 compressing을 하면서 전부 갈라놨기 때문에, 두 end들은 같은 end를 공유하게 된다. 따라서, $K_j$와 $K_{j'}$가 disjoint하지 않는다면, $G_j$와 $G_{j'}$는 어떤 element $\gamma\in\Gamma_G - \rho(\Gamma)$에 의해서 $\gamma G_j \gamma^{-1} = \Gamma_{j'}$가 되고 (애초에 $G_i$들을 algebraic limit 으로 부터 만든 것이기 때문에, algebriac limit element로 conjugate이 될 수는 없다), 따라서 $\gamma\Lambda(G_j) = \Lambda(G_{j'})$가 되는데, 이것은 다음의 proposition에 의해 불가능하다:

Proposition 4.2 ([AC]) Let $G$ be a finitely generated, torsion-free, nonabelian group, let $\{\rho_i:G\to\mathrm{PSL}_2\Bbb C\}$ be a sequence of discrete faithful representation converging to $\rho$ algebraically and suppose that $\{\rho_j(G)\}$ converges to $\hat{\Gamma}$ geometrically. If $\Gamma_1$ and $\Gamma_2$ are two (possibly equal) topologically tame subgroups of $\rho(G)$ and $\gamma\in\hat{\Gamma} - \rho(G)$, then $P(\Gamma_1,\gamma\Gamma_2\gamma^{-1}) = \emptyset$. In particular,

$$\Lambda(\Gamma_1\cap\gamma\Gamma_2\gamma^{-1}) = \Lambda(\Gamma_1)\cap\gamma(\Lambda(\Gamma_2)),$$

and $\Lambda(\Gamma\cap\gamma\Gamma_2\gamma^{-1})$ contains at most one point.

위의 Proposition 4.2를 이용해서 비슷한 이유로, $1\leq j\leq l$과 $l+1\leq j'\leq n$에 대해서, $K_j$와 $K_{j'}$들이 $M_G$에 $M_G$의 convex core에 disjoint하게 embedded되게 만들 수 있다. ($M_G$에서 이미 $K_j$들과 $K_{j'}$들은 서로서로 이미 disjoint하다. 하지만 $K_j$와 $K_{j'}$의 disjointness를 보증하기 위해서는 위의 argument가 필요하다.)

Proof of Proposition 4. 먼저 limit set $\Lambda(\rho(\Gamma))$가 connected라고 하자. 그러면, construction에 의해서, $K_1,\ldots,K_n$들과 cusp들을 모두 합쳐놓으면 $M$의 core가 됨. (Property (3)) 가정에 의해서, 모든 rank 1 cusp들이 $M_G$에 embedding이 되기 때문에, 그리고 모든 $K_i$들이 $M_G$에 embedding이 되기 때문에, 만들어진 core는 $M_G$에 embedding이 됨. (Property (1)) Construction에 의해서 $M$의 geometrically infinite end를 모두 포함하고 있다. (Property (2)) 마지막 Property (4)를 만족하기 위해서는, cusp들 중에 geometrically finite end를 만나는 경우에는 conformal boundary쪽으로 뻗어나가는 cusp의 부분을 totally geodesic annuli를 따라서 적절히 잘라내면 만족하게 됨.

이제 limit set $\Lambda(\rho(\Gamma))$가 disconnected라고 하자. 그러면, Klein combination theorem에 의해서, $\Gamma$를 limit set이 connected인 vertex group들 $\Gamma^1,\ldots,\Gamma^k$을 trivial edge들로 연결시키는 graph of group들로 나타낼 수 있다. Manifold 레벨에서는, trivial edge는 $M$의 compressing disk를 말하고, $M$을 $M^1,\ldost, M^k$들의 조각들로 compression을 할 수 있다. 이때 $\pi_1(M^j)\simeq\Gamma^j$가 된다. 이제 각각의 piece들은 이전의 connected limit set 케이스에서 $\Bbb H^3/\rho(\Gamma^j)$들의 core $K^j$들을 가져온다. 그러면 이러한 core들 $K^j$들은 $M$의 convex core에 disjoint하게 embedding이 된다. 이제 compressing disk에 transverse한 arc를 잡고, 그것의 regular neighborhood를 잡아서 각각의 $K^j$들을 연결시킨다. 여기서 transverse arc는 convex core에 들어가도록 잡을 수 있고, $\pi$에서 injection으로 들어가게 할 수 있다. 이렇게 만들어진 core는 Proposition 4의 조건들을 모두 만족시킨다.

Proof of Proposition 5. 다시, limit set $\Lambda(\rho(\Gamma))$를 connected로 하자. Setup에서 말한 것 처럼, $\rho(\Gamma)$는 cyclic parabolic subgroup을 edge로 갖고 vertex group이 $G_1,\ldots,G_n$들인 graph of group이 된다. 그리고 $K_1,\ldots, K_n$들은 $\pi_1(K_j) = G_j$인 각 $\Bbb H^3/G_j$의 compact core이면서, $M$과 $M_G$에 동시에 disjoint하게 embedded 되어있다. 또한, cusp을 따라, 그리고 geometrically infinite인 경우에는 end의 neighborhood를 적절히 베어내서 $G_j$들의 relative compact carrier $(R_j,P_j)$ s.t. $R_j\subset K_j$ 를 얻을 수 있다. 따라서, 모든 parabolic element in $\rho(\Gamma)$는 어떤 $P_j$의 closed curve로 represent할 수 있다.

Proposition 4의 상황과 다르게, rank 1 cusp이 rank 2 cusp을 cover할 수 있다. 따라서, $M$의 compact core가 $M_G$에 embedding되지 않을 수 있다. 그렇기에 우리는 [ACM]에서 사용되는 machinery를 좀 사용해야 한다.

내가 [ACM]을 안읽어봐서 일단은 받아들일 수 밖에 없긴 한데... 나중에 읽게 되면 좀 더 자세히 쓰도록 하겠다.

앞서 우리는 $\rho(\Gamma)$의 parabolic element들은 $P_j$의 closed curve로 represent할 수 있다는 결론까지는 얻었는데, 우리가 원하는 것은, approximate들 $\rho_i$들의 peripheral들로 나타내는 것이다.

우리의 상황에서는 Geometric limit $M_G$의 submanifold를 적절히 construct를 해서 $k_i$-biLipschitz map들 $h_i$들에 의해서 compact core of $M_i$들로 mapping이 되게 하는 것이다. [ACM]에 의하면, 어떤 disjoint tori $T_1,\ldots,T_l$ in $M_G$를 찾을 수 있어서, 다음과 같은 성질을 만족키실 수 있다고 한다:

(1) Every torus $T_i$ is contained in a cusp of $M_G$ which is covered by a cups of $M$; and

(2) for each $1\leq i\leq l$, $1\leq j\leq n$, the intersection $T_i\cap \pi(R_j)$ is either empty or an annulus contained in a component of $\pi(P_j)$; and

(3) the union $K = \bigcup \pi(R_j)\cup\bigcup T_i$ is mapped to a compact core $B_i$ of $M_i$ for large $i$.

따라서 $T_i$들은 rank 1 cusp에 의해서 cover되는 rank 2 cusp들을 나타낸 것들이다. (2)는 상식적이고, (3)이 가장 nontrivial한 것인데, $\pi(R_j)$들이 disjoint하게 embedded 되어 있으면, 그것을 $T_i$들이 transverse하게 intersect를 해서 하나의 core로 만들어지는 것 같다.

따라서, 만약 $\gamma$가 어떤 $P_j$에 embedded 되어 있으면, $h_i\circ \pi(\gamma)$는 $B_i$의 boundary curve로 up to homotopy로 represent할 수 있다. ($K$가 compact core $B_i$로 bilipschitz하게 보내진다는 것에 의한 결론이다.) Limit set이 connected인 경우는 이렇게 보여진다. (한가지 알아야 할 것은, 우리는 암묵적으로 passing to a subsequence를 해서 $\rho_i$들이 algebraically, 그리고 geometrically convergent하다는 것을 가정하고 있다. 따라서, statement에는 algebraic limit만 등장하지만, geometric limit에서의 machinery를 이용하고, 그 approximate들을 이용해서 $\rho_i$들의 manifold에 대한 성질을 도출해내는 방식을 취했다.)

Limit set이 disconnected인 경우는 앞선 경우와 비슷하게, vertex group $\Gamma^1,\ldots,\Gamma^k$들의 limit set들이 connected인 경우로 쪼갤 수 있다. 만약 $\rho(\gamma)$가 어떤 $\gamma\in\Gamma$에 의해서 parabolic을 represent한다면, $\gamma$는 적절한 conjugation을 통해서 $\Gamma^1,\ldots,\Gamma^k$들 중에 하나의 group으로 들어갈 수 있다. 위의 connected limit case인 경우에서 만들어진 $M_G$의 compact submanifold들을 $K^j$라고 하자. $M$의 compressing disc들에 transverse한 arc $\alpha$ 또한 $M_G$에 embedding이 되도록 잡을 수 있고, $\pi(\alpha)$들과 $K^1,\ldots,K^k$들이 $h_i$에 의해서 large $i$에 대해서 $M_i$에 embedding이 되도록 할 수 있고, 이것으로 증명이 끝난다.

[AC] Anderson, Canary - Cores of hyperbolic 3-manifolds and limits of Kleinian groups

[ACM] Anderson, Canary, McCullough - The topology of deformation spaces of Kleinian groups