미분가능과 도함수연속성
게시글 주소: https://old.orbi.kr/00068839810
일단 결론은 미분가능≠도함수연속 입니다
이 내용을 현행교육과정내에서 간단히 풀어내보겠습니다
미분가능하다의 정의는
1. 연속
2. 모든 실수 a에 대하여 
가 존재(좌미분계수=우미분계수를 내포하는 내용)
사실 수능문제들에서 미분가능성을 따질때 정석적으로는 2번의 정의로 다 풀수있으나 실전성을 위해 첨점과 같은 내용으로 한눈에 파악하기도하죠
도함수가 연속이다의 정의는 그냥 일반적인 연속의정의인
를 확인해주면 됩니다
결국 도함수가 연속이면 미분가능함의 2번조건을 자동적으로 만족해줍니다
그럼 1번조건인 연속하다라는 어떻게할까요?
도함수의 정의자체가 원함수의 각 지점의 미분계수를 뜻하는것이기에 도함수가 연속이면 당연히 원함수도 연속입니다
(원함수가 불연속이면 도함수의 정의상 원함수가 불연속인 지점에서 정의되지않기때문에 도함수는 불연속이됩니다)
그러므로 도함수가 연속이면 미분가능합니다
하지만 첫 줄에서 말했듯
미분이 가능하다고 도함수가 연속인것은 아닙니다
미분가능해도 도함수가 불연속일 수 있다는거죠
왜 우리의 직관과는 달라보이는 이런일이 발생한걸까요?
그 이유는
일수도 있기 때문입니다
분명 미분계수의정의로든 로피탈로든 둘이 같다 생각해왔었는데 실은 다른경우도 있다는거죠
f(x)가 미분가능하다고 전제한다면 저 두식의 좌항은 서로 같겠지만 좌항과 우항이 다른경우가 있을수도 있어서 미분가능이 도함수의연속을 보장해주지 않습니다
그 예시는 밑에 보여드리겠습니다
다만 이런 경우는 적어도 구간별로 다르게 정의됐을때와 같은경우에나 발생하지 일반적인 미분가능한함수에서는 저 위에 두식에서 좌항과 우항이 같음이 성립하니 문제푸실때 이런경우를 너무 과도하게 생각하실필요는 없습니다
미분이 가능하지만 도함수는 불연속인 대표적인 예시이자 기출입니다
미분계수의 정의를 이용하면
이므로 미분이 가능함을 알 수 있습니다
하지만 이때 미분법을 이용해 도함수를 구해주면
이를 실제로 그려보면 도함수가 x=0 근방에서 미친듯이 진동하는것을 확인할수있습니다
결국
임을 확인할수있기에 미분이 가능해도 도함수는 연속이아닙니다
매번 주기적으로 불타는 주제이기에 한번 정리해보았습니다
사실 수능문제에서 그렇게 크리티컬하게 다뤄지는 내용도 아니고 교육과정내에서 완벽하게 증명이 된다고는 볼 수는 없긴합니다
도움이돼셨다면 좋아요를....!!
0 XDK (+5,100)
-
5,000
-
100
-
작년 실지원자수 보다 많이 들어온정돈데 과열돼서 폭냄새난다 or 아니다 정확도 높다...
-
뱃지.. 뱃지 그립단거야..
-
수학 1,2 에서 개념은 더 볼 필요 없다고 판단한 상태인데 이미재쌤 미친 개념...
-
저는 닉값했음 0
지구과학2에서 천체하고 해수 배웠으면 된거죠 그쵸
-
닉변해야겠다 2
내가 찐또배기 저능아인데 저능고양이로 바꿔야겠뇨
-
ㄷㄷ
-
지지하심?
-
저 닉값할게요 2
엎어지면...흐흐
-
이번수능54455나왔는데 어디가는게 더 나을까요?
-
이거 진짜예요?
-
나 말고는 왜 그런 판단을 하는지 모르겠긴함
-
환경이나 사고가 다른 새로운 사람을 사겨야하나 이게 좋은 쪽도 좋은 쪽인데 안 좋은...
-
장난함? 이 점수로 아주대 디지털 미디어를 왜 씀
-
왜5칸만드냐고미친새끼야 ㅣ시발
-
경희대 중간공하고 시립대 물리학과 또는 낮공중에 어디갈까요? 시립대물리가게되면 복전도 생각하고있어요
-
(서울대 합격 / 합격자인증)(스누라이프) 서울대 25학번 단톡방을 소개합니다. 0
안녕하세요. 서울대 커뮤니티 SNULife 오픈챗 준비팀입니다. 서울대 25학번...
-
재밌다
-
커뮤에서만큼은 진실한 사람이 되고 싶음뇨
-
원서공개 5
가군 고려대 통계 나군 서울대 윤교 다군 고대학부
-
가군 연세대 나군 서강대 다군 중앙대 이게 맞음
-
저 무인도에 조난당함뇨 14
-
이 알바 어떰? 2
돈받고 속눈썹펌한다길래 끌리긴 하지만 알바해본 적이 없어서 고민되네
-
관심 받으려다가 다른 쪽으로 관심을 받게 된답니다....
-
현우진 시발점 강좌가 미적분 상 미적분 하가 있고 미적분1 (새 교육과정의 기본)...
-
여기가반수맛집이라면서요
-
19일만 지나면 40
입대에요! 꿀팁 받아요..
-
서울대 의대 지균이면 과외잘잡히냐
-
과바과 인건 아는데 알고 싶어요 특히 전전이나 컴공이요
-
안녕하세요 오르비는 정말 오랜만에 들어와보네요... 대학을 수시전형으로 가긴 했지만...
-
다들 뵥.. 3
-
진학사 4칸 2
17명 뽑는 학과고 4칸 1등인데 가능할까 ........ 4칸 불합격 << 이게...
-
5칸 최초합 0
약 15명 뽑는과, 최초합 끝자락 등수, 표본 참 어떻게든 붙긴하겠죠..?
-
번식시키변 내가좀 고생이지만 아기들볼수잇음 암컷만 사면 고생은 안하지만 암컷이...
-
닉변완 0
후흐
-
23때까지처럼 그냥 3일전쯤 마감하지 겁나 귀찮게함 진짜..
-
괜찮은 사람 찾아서 사귀기 반수인데 1년 지나면 괜찮은 애들은 다 품절이라 강제로...
-
-
아마 상근 하면서 군수를 할 거 같은데..제가 군인 신분으로 수능을 볼 수 있는...
-
근데 나따위에겐 아무도 관심을안줌
-
신은 모든것을 초월함 14
왜냐하면 신이 모든것을 만들었기 때문에
-
버틸 수가 있을까요?
-
방학때 엄마 출근할 때 같이 나가서 8시 반까지 구르다가 운동하고 집 들어올 거...
-
펑
-
왜 저 성적으로 여기를
-
벌써 인증메타라고 11
어라라
-
지구 신규강사 뜨는거 기다린다고 이훈식t 교재도 안사고 있었는데 오늘 보니깐 걍...
-
25 수능 기준 27~30 다 못 푼 사람임. 시대인재 김현우t 수업 1주차 후기...
-
이제와서 2
텔그 계속 60+퍼 주다가 이제 와서 70+퍼 주는거 고맙지도 않음. 오늘 새벽에...
-
텔그기준 1
의치한수약 서연거 성서한중 시이건경동 외교홍교 과숙숭아세인 국경항 경부 경북대 앞에...
-
랄집자 진짜 감다뒤
서로다르다는 기호를 어케쓰는지를 몰라서 ㅋㅋ...
양해부탁드립니당
느낀점.도함수가 연속이면 미분가능 o
미분가능이면 도함수연속 x(반례) 이군요
반례가 어케되죠
도함수의 함숫값만 존재하면 되는거아님? 도함수의 극한값과는 관계없이 어차피 f'(a)라는 값만 보는거니까
감사합니다....안 그래도 제가 헛소릴 해서....깔끔하게 정리해주셨네요
도함수가 연속이면 미분가능이지만 그 역은 성립이 안 된다는 걸로 한 줄 정리가 되네요
!= 입니다
헛 감사합니다
호훈이 맨날 강조하는 거네
저도 이거 배웠는데 반례가 현행 교육과정에서는 힘들고 가형 30번에나 나올거같은 기괴한 함수여서 별로 상관 없는거같던데
저함수근데 교과서에 있음 ㅋㅋㅋ
수2범위 내에선 그냥 동치 맞죠?
ㅇ예
김기현 들으면 저거까지 다 증명 및 소개까지 다 해줌 아 ㅋㅋ
확통 선택자인데
역은 성립하지 않는다고 기억해두면 될까요?
유용한 글 감사합니다
도함수가 연속이면 미분가능하다
역은 성립하지않는다
도함수 말고 그냥 함수는
연속이라고 미분 가능한 함수가 아니고
미분이 가능하면 연속이라고 알고 있는데 헷갈리네요
확실하게 알아야겠어요
수분감 미적 스텝2에
"선생님 그럼 sin1/x는요? 말도 안되는 소리하지말고 " 한 5번쯤 나오는데 뭔소린지 몰랐는데
드디어 ㅋㅋ..
저거 강기원이 자주 얘기하는 함순데
팔 부르르 떨기 ㅋㅋㅋ
기구하다
N제에 비슷한 개념이 헷걸리는 문제가 있는데 그럼 f프라임의 극한값은 존재 하는데 함숫값과는 다른경우에도 미분 가능할 수 있겠죠 주어진 구간대로 함수를 미분해서 구하면 좌극한 우극한은 같은데 함숫값이 다른경우가 있더라고요
수2 n제인데 다시 보긴 해야되는데 기억상 이런 문제가 있더라고요
간단하게 변곡점의 미분계수가0인 삼차함수의 역함수를 생각해보면 됨 이 역함수의 변곡점의 미분계수는 정의 되지 않지만, 미분 가능임
이건 틀린말이지요 y=x^3의 삼차함수의 역함수는
0에서 미분가능하지않지만(평균변화율의 극한의 발산) 접선이 존재한다가 옳습니다
y평점은 미분도 불가능이에용
또 재밌는사실은
1. x->a로갈때 limf '이존재한다고 원함수가 연속이면 위 극한은 f '(a)라는 점
2.반대로 lim f '(좌우극한)이 존재하고 f '(a)도
존재한다면 이 둘은 다를 수 없다는 점
-->이게 누구나 떠올릴 수는 있지만 이러한 특성을 가진 도함수는 없다는 다르부의 논증이 있지요
도함수의 연속성에 대해서 이런 정리가 있더라구요!
다르부의 부르르함수
수분감에선 이거 고등과정에선 고려 안해도 된다고 들었는데 맞을까요..?
어디 기출이죠..?? 평교사엔 아직 없고 임용 기출로 알고있는데
의대논술
김범준이 도함수 극한 ㅈㄴ까던데 ㅋㅋ
간단하게 생각하면 도함수: 단일 극한, 도함수극한: 이중극한이니까 당연히 다르다고 볼 수 있죠
그리고 진동발산 말고도 x^(1/3) 같은 함수 이용하면 존재성의 문제가 아니라, 도함수 극한을 사용했을 때 '아예 다른 값'이 나오게도 할 수 있습니다 처음 보면 굉장한 충격이죠
궁금하신 분은 핀셋 n제 시즌2 미적분 23을 참조...
!=