유리함수 곱하기 이차함수가 실수전체에서 연속일때
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제가 수학2 문제 풀다가 신기한점을 발견했는대요, 이 문제에서 유리함수 곱하기 이차함수가 연속이라고 햐서 저는 처음에 이차함수가 x = 3 이라는 점근선에서 근을 가진다는 정보만 알 수 있었습니다. 그러나 이것만을 가지곤 문제를 풀기가 매우 어렵더라고요. 그래서 콴다에 찾아보니 이때 이차함수가 점근선에서 중근을 가져야만 한다는 사실 알게되었습니다. 이를 일반화 해서 수식으로 증명해보니 x=a 라는 점근선을 가지는 유리함수는 분모에 (x-a)가 있고 이차함수는 (x-a)인수를 최소 하나 가져야하므로 k(x-a)(x-b)이런식으로 두고 곱하면 분모분자 x-a가 약분이 되어서 극한값과 함숫값(즉, 0)이 같다는 연속의 정의를 통해 b=a라는 것을 알 수 있더라고요. 근데 그래도 그래프 상에서 이해가 안되서 생각해보니 이게 불연속이 그냥 불연속이 아니라 점근선에서 발산을 해서 무한대 곱하기 무한소가 0이 아닌 부정형이라는 사실이 떠올랐습니다. 그래서 무한대로 발산을 하면 0(무한소)가 최소 2개 이상있어서 유리함수 분모의 일차식 무한대(x-a) 보다 power가 센 (x-a)의 제곱이 곱해져서 0의 개수가 더 많아야지만 0으로 수렴하는 것인지 의문이 드네요! 이게 맞다면 어느정도 중근을 가져야 한다는 개 들어맞기도 하고 그럴듯해보여서 더 궁금해지네요! 두서 없이 쓴 글이지만 읽고 똑똑하신 분들이 답햐주시면 정말 정말 감사하겠습니다!! -이거 되게 재밌네요 세특 주제로 해볼까요?
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기출에서 출제된 내용이라 아무 인강강사분 개념강의 들어도 함수의 연속성 단원에서 다루실거에요네 그렇게 보면 됩니다
신기하네영
근데 너무어렵게생각하시는듯
그냥 차수가 하나만있으면 한쪽은 0되고 하나는 0이아닌값으로 수렴해서 불연속인거임
그래프상에서 이해하고자시고 할게있나
이것도 맞긴 해요 하나하나 암기의 영역으로 들어가면 지나치게 고려할게 많아지는 느낌이긴함
근데 인강에서 들어서 외우는게 아니라 이런 과정을 거치면 문제 풀면서 아 그때 그 논리대로 진행하면 되겠구나~ 하고 풀 수 있게되긴해요
그건그렇죠
한쪽만 0이 된다는게 어떤 말씀이시죠??
하나만 곱해지면 극한값은 0이아닌값인데, 한숫값은 0이되잖아요
아 그렇네요
제곱인수가 아닌 x-a인수 하나인 경우 얘기입니다