재밌는 문제 풀어보셈요(10.16)(1500덕)
게시글 주소: https://old.orbi.kr/00069510928
간단한? 정수 문제입니다.
난이도 : 2.5/5
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
대석열의 알빠노 마인드가 좆으로 보이냐?
-
면허정지 안함 처벌안함 사직서 수리함 책임 안짐 면허정지 안함 엄정대처 안함 휴학...
-
갑자기 요 며칠새 느끼는중 슬슬 수능 이후의 공부들도 해야 할 거 같고 특히 CS...
-
경고 했습니다. 절대 지원하지 마시기 바랍니다. 그냥 서연고도 좋은학교니까 거기가세요
-
더욱 집중력이 향상되는게 아닐까 싶은 잔잔한 음악을 듣거나 껌을 씹거나 펜을...
-
정법 표점 뭐지 2
손해 안 본다며…
-
올핸 좀 정상화당한 거 같은데 작년에 물투화투 5050이면 이론상 수학 2등급도...
-
-
공대 가려면 수원대 공대가 그나마 나을까요? 가천,경기라인은 안될거같고 외대글캠 자연과들도 못가죠?
-
고경제 안정에 설대 스나 노리고 있을텐데
-
알려주새오
-
이제부터 랜덤탄다.
-
고2 교육청으로 본 3개의 수학 시험들중 다 합해서 3개까지 틀렸을면 가세요 아님...
-
둘이서 6병 마셧다 기억 안남
-
하던 거나 해야지.
-
설자전 가능? 1
자전 기준 411.7 가능할까요 ..?
-
오지훈 딱 대라
-
기차지나간당 8
부지런행
-
국어 언매 3컷 1
공통 -18 선택 -5 합쳐서 77인데 3컷 불가능할까요? 메가 기준으론 표점...
-
맛있더라 그래서 지금 피곤해
-
수학 노베 0
예비 고3인데, 현재 모고 수학 5로 노베입니다. 내신이 썩 좋은편은 아니라...
-
조오온나 피곤하네.
-
다 일어나서 글써
-
현대소설 중 이런 문학 있는 느낌
-
아침이 즐겁구나 0
공식 6연승 대 꼬 마
-
메가 덕분에 인테그랄 쓰고 있긴 한데 솔직히 개구림 내가 만들어도 이거보단 나을 거 같은데;
-
퍼즐퍼즐퍼어즐 2
퍼..
-
ㄹㅇ
-
목동 시대 단과 0
이동준쌤 목동 시대 단과 공통반 마감이던데 라이브반이나 어떻게 들을 방법 없을까요?...
-
천잰데?
-
깨고 싶지 않은데 7시만 돼면 눈이 떠지는 이 기묘한 시츄에이션…
-
나지금지하철 3
학교 일등으로 가겠구나
-
잠이안옴
-
응떡 마렵네 3
이따 먹을까
-
얼리버드 취침 4
-
당황스럽네 뭐지 진짜 둘다 1 못받은건 이번이 처음이라 그런가
-
크아아아!!! 얼버기 13
오늘? 2시에 자는 사소한 이슈로 인해 기상이 쉽지 않았네요... (저는...
-
시대 겨울 단과 1
시대 단과 처음 갈 예정입니다. 미적 개념을 듣고 싶은데 어떤 선생님이 좋을까요?
-
근본적인? 행복은 존재에서 나오는게 아닐까 사람들이 우선 성취에서 기쁨을 느끼지만...
-
얼버기 3
ㅈㄱㄴ 오늘도 화이팅!
-
김민재 골이라니 4
ㅇㄱㅈㅉㅇㅇ?
-
기상 완료 드디어 오늘 예비군 마지막날
-
열심히 해보곤 있는데 원래 과탐에 stay 할 것 같네요,,, 십헬과목
-
인듯... 외모관리 중요한듯.
-
선결론) 물2 24.77, 47, 99, 69~70 화2 23.80, 44,...
-
궁금한게 2년뒤 대학에 입학하려면 최소 공군을 5월에 입대해야하는데 커트라인 보니깐...
-
77ㅓ억 간만에 대승이구나
-
얼버기 1
진짜 이른 기상이다 수도병원 가야해 피곤s
-
다 맞게써도 답안이 교수님 맘에 안들면 합격 못한다는거 진짠가여!?ㅠㅠ
-
안녕하세요 고3 정시생입니다 제가 고2 6모때 수학 높5맞고 고2 8월에 정시로...
가운데에 뭔기호에요?
a | b 에서 b가 a로 나누어 떨어진다는 의미입니다
이젠 님이 알려주시는군요..ㅋㅋ
이 문제 n<=2p 조건을 쓰면 간단한가요? ㅋㅋ 제 풀이는 이걸 안 썼는데 (어떻게 쓸지 모르겠어서..) 안 써서 그런가 좀 어려운 문제인 듯..
답은 (n,p) =(2,2), (3,3)이다.
i) 2|n
2|(p-1)^n+1 => p=2 =>n|2 => n=2.
ii) n은 홀수이고 p의 배수가 아님.
n의 최소 소인수를 q라고 하자. p-1이 q의 배수가 아님은 당연하다.
(p-1)^2n==1 (modq), (p-1)^(q-1)==1 (modq) (by 페르마 소 정리)
=> (p-1)^gcd(2n,q-1)==1 (modq) => (p-1)^2==1 (modq) (∵q는 홀수, (q-1,n)=1)
=> q|p(p-2)=>q|p-2 => p==2 (modq) (∵p와 q는 서로 다른 소수)
=> 0==(p-1)^n+1==1+1==2 (modq) => q=2 모순.
iii) n은 홀수이고 p|n.
v_p(n)=x라 하자.
Lifting the exponent lemma에 의해
x*(p-1)≤v_p((p-1)+1)+x => (p-2)x ≤ 1 => p≤3 => p=3 (∵x≥1)
=> n^2|2^n+1. 이는 imo 1990/P3이고, 답은 n=3 하나뿐이다.
따라서 구하는 모든 (n,p)는 (2,2), (3,3)이 전부이다.
오 맞아요 이제 봤네요.. 난도를 낮추기 위해 필요한 조건이랄까요 ㅋㅋ
쉽게푼 버전입니다
n^(p-1) | (p-1)^n + 1 이므로
n | n² | ... | n^(p-1) | (p-1)^n + 1
i) p가 n의 약수
p | (p-1)^n +1이므로 (-1)^n +1 = 0 (mod p)
1) n 짝수
2 = 0 (mod p)인 p = 2가 유일.
n^(p-1) | 2 이므로 n <= 2, 따라서 1 < n <= 2인 짝수 n은 2뿐.
2) n 홀수
n = pk <= 2p이므로 k = 1, n = p
따라서 준 식 p^(p-1) | (p-1)^p + 1
한편
(p-1)^p + 1
= pCp p^p - pC(p-1) p^(p-1) + pC(p-2) p^(p-2) - ... - pC2 p² + pC1 P - 1 + 1
= p² (pCp p^(p-2) - pC(p-1) p^(p-3) + ... - pC2 + 1) = f(p)
p | pCi 이므로 p² | f(p)이고 p³ !| f(p)
따라서 홀수 p는 3이 유일, 이때 n = 3
ii) p가 n의 약수 x
{n, n², ..., n^(p-1)} = {1, 2, ..., p-1} (mod p)
따라서 (p-1)! = (p-1)^n + 1 (mod p)
이때 (p-1)! = p-1 (mod p) 이므로
p-1 = (p-1)^n + 1 = (-1)^n + 1 (mod p)
p > 2인 소수 p에 대해 p-1 != (-1)^n이므로 불가
(2, 2), (3, 3)
맞습니다!
윗댓 사진 풀이 참고해보세요!
저런 문제는 어디서 가져오는 건가요?
작성하신 글 보니 저런 거 종종 올리시는 것 같은데..
경시 변형하거나 대부분 제가 만듭니다
그렇군요 감사합니다
약간의 오타가 있네요
마지막줄 p-1 != (-1)^n + 1 (mod p)
내친 김에 1990 imo P3 제 풀이도 올려봅니다.
n^2|2^n+1
n=1이면 조건을 만족한다.
n>1일 때, n의 최소 소인수를 p라고 하자.
2^(2n)==1 (modp), 2^(p-1)==1 (modp) (by 페르마 소 정리)
=> 2^(2n,p-1)==1 (modp) => 2^2==1 (modp) (∵(n,p-1)=1)
따라서 p=3이다.
Lifting the exponent lemma에 의해
2*v_3(n)=v_3(n^2)≤v_3(2^n+1)=v_3(2+1)+v_3(n) => v_3(n)≤1 => v_3(n)=1
n=3t라 하자. (t는 3의 배수가 아니다.)
t>1이면 t의 최소 소인수를 q라고 하면,
8^(2t)==1 (modq), 8^(q-1)==1 (modq) (by 페르마 소 정리)
=> 8^(2t,q-1)==1 (modq) => 8^2==1 (modq) (∵(t,p-1)=1)
=> q|63 => q=7 (∵q≠3)
2^n+1을 7로 나눈 나머지는 2,3,5만 가능하므로 모순, => t=1 => n=3
n=3일 때 확인해보면 해가 됨을 알 수 있다.
따라서 구하는 n은 1,3.
오 aops에서 봤던 풀이랑 비슷해요
근데 위에 풀이에서
q|p-2인 경우에 왜 쌍둥이 소수여야만 가능한가요?
q와 p가 모두 소수여서요 2차니 나는 소수쌍을 쌍둥이 소수라고 해요
그건 아는데 p-2가 꼭 소수이진 않잖아요, p-2가 합성수이고, q가 p-2의 약수일 수도 있는거 아닌가요
아 그렇네요. 아무생각없이 풀다보니까 그렇게 됬군요. 수정해서 올릴게요..ㅋㅋ
제가 그 부분에서 잠깐 막혔었는데 그냥 제 풀이처럼,
p==2 (modq) => 2==(p-1)^n+1==0 (modq) => q=2로 처리하는게 젤 간단한 듯요
맞아요. 제가 쓴 풀이 위에구해논 mod 식을 이용하는게 젤 간편하긴 해요
추가적으오 최대공약수 쪽으로 풀어서 접근해서 되는지 해보고 있었습니다