괴델의 불완전성 정리가 틀린 이유
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G : "G가 증명불가능"
1. "G가 증명불가능" 함을 괴델이 증명
이는곧
2. "G"를 증명 한것
이는곧
"G : G는 증명불가능"
과 모순
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만약 리만가설이 증명불가능하다는 걸 증명하면 100만 달러는 받겠지만 그게 리만가설을 증명한 게 되는 건 아님...
아니 증명불가능 하다는걸 증명했으면 증명을 못하는거아님?
정확히 말하면 G라는 문자열은 (그것의 해석이 논리적으로 참임에도 불구하고) 그 형식체계 안에서 형식적인 문자열 조작 규칙을 통해서는 도출되지 않는다는 것이 G:"G는 '증명' 불가능하다"의 의미이고
(혼동을 막기 위해 이 의미의 '증명'(=도출)을 증명1이라고 언급하겠음)
괴델이 '증명'한 것은 그 문자열의 도출(=증명1)이 형식체계 내에서 불가능함을, 형식체계 밖에서 메타적으로 논증해 보인 거임. (이 의미의 증명을 증명2라고 언급하겠음) G라는 문자열을 형식체계 안에서 도출(=증명1)시킨 것이 아니라.
즉 G가 언급하는 '증명'의 의미(=형식체계의 공리로부터 형식적인 문자열 조작 규칙을 통해 도출됨)와 괴델이 한 '증명'의 의미(=그 문자열이 형식체계 안에서 도출 불가능함을 형식체계 밖에서 논증한 것)가 다르고, 따라서 모순되지 않음
요지는, 괴델은 G를 형식체계 내에서 도출(=증명1)시킨 것이 아니라 그 도출이 불가능함을 형식체계 밖에서 논증(=증명2)한 거라는 것
이게 대체 무슨말이지...