[박수칠] 함수의 극대·극소와 미분계수
게시글 주소: https://old.orbi.kr/0008006433
안녕하세요~ 박수칠입니다 ^^
지난 번에 올렸던 ’극대·극소의 새로운 정의 이해하기’에
많은 관심을 보여주셔서 감사합니다.
1, 2월에 올린 칼럼 가운데 가장 최근 것임에도 불구하고
조회수와 좋아요가 가장 많이 나왔어요.
(오르비 페북에 링크됐던데 그 덕분일 수도 있겠네요.)
그런데…
칼럼을 읽은 분들의 반응을 보니
살짝 우려되는 부분이 생겼습니다.
칼럼을 쓴 의도는 ‘극대·극소의 새로운 정의를
다양한 함수에 적용해서 깊이 있게 이해해보자’였는데
생각과 다르게 새로운 정의가 어렵다는 반응이 많네요.
이것은 극대·극소의 새로운 정의(이하 확장 정의)가
다양한 함수에 적용 가능하기 때문에 생긴 착시라 봅니다.
미적분1, 2 교과서나 수능/모평 기출을 보면
극대·극소 문제는 연속이면서 함숫값이 일정한 구간이 없는
함수를 대상으로 하고 있습니다.
이 경우로 한정해서 확장 정의를 적용하면
주변보다 높은 봉우리는 극대점, 주변보다 낮은 골짜기는 극소점
이라는 해석이 가능하지요.
알고 보면 쉽습니다 ^^
극대·극소 확장 정의는
다양한 함수에 적용 가능하다는 것 외에
또 하나의 장점이 있습니다.
바로 함수의 극대·극소와 미분계수 사이의 관계를
수식적으로 쉽게 연결시켜준다는 점이죠.
바로 확인 들어가야죠? ^^
미분가능한 함수 y=f(x)가
x=a에서 극대라고 가정합시다.
그럼 극대·극소의 확장 정의에 의해
어떤 열린 구간 I에 속하는 모든 x에 대하여
f(a) ≥ f(x)가 성립합니다. (단, a ∈ I)
따라서 f(x)-f(a) ≤ 0가 되고,
x=a에서의 좌미분계수와 우미분계수는
다음을 만족합니다.
(∵x→a-일 때 x-a < 0, x→a+일 때 x-a >0)
함수 y=f(x)가 x=a에서 미분가능하므로 f’(a)가 존재하고,
위 부등식으로부터 f’(a)=0임을 알 수 있습니다.
미분가능한 함수 y=f(x)가 x=a에서 극대일 때
f’(a)=0이라는 사실이 쉽게 증명되죠?
미분가능한 함수 y=f(x)가 x=a에서 극소일 때
f’(a)=0인 것도 같은 방법으로 증명할 수 있습니다.
그리고 다음과 같은 명제를 만들 수 있습니다.
위 명제는 미분가능한 함수 y=f(x)가
함숫값이 일정한 구간을 가질 때도 적용됩니다.
함수 y=f(x)가 닫힌 구간 [c, d]에서 함숫값이 일정할 때
열린 구간 (c, d)에서는 극대인 동시에 극소,
x=c, d에서는 극대 또는 극소라는 사실 아시죠?
함수 y=f(x)가 구간 (a, b)에서 미분가능하다면
닫힌 구간 [c, d]에서 f’(x)=0이기 때문에
위 명제가 성립함을 알 수 있습니다.
그리고 함수의 극대·극소와 미분계수의 관계에서
주의할 점이 두 가지 있는데…
첫 번째는
’함수 f(x)가 x=a에서 미분가능할 때
x=a에서 극대 또는 극소면 f’(a)=0이다’ 는 참이지만
그 역인 ’f’(a)=0이면 함수 f(x)는 x=a에서 극대 또는 극소다’는
거짓이라는 점입니다.
미분계수가 0이지만 극점이 아닌 경우가 있기 때문이죠.
두 번째는
함수의 극대·극소와 미분계수를 연결하다 보면
미분불가능한 점에서 극대·극소가 나타나지 않는다고
착각하기 쉽다는 점입니다.
하지만 아래와 같이
미분불가능하지만 극대 또는 극소인 경우가 있기 때문에
주의해야 합니다.
마지막으로 한 가지 더!
함수의 최대·최소는 극대·극소와 정의가 비슷합니다.
단지 ‘어떤 열린 구간 I’ 대신 ‘정의역’이 자리할 뿐이죠.
그리고
‘미분가능한 함수 y=f(x)가
x=a에서 극값을 가질 때 f’(a)=0이다’를
증명하는 과정에서 극대·극소를 최대·최소로 바꾸면
롤의 정리에 대한 증명이 됩니다.
볼까요?
i) f(x)가 상수함수일 때
f’(x)=0이므로 c의 값은 열린 구간 (a, b)에 속하는 모든 실수입니다.
ii) f(x)가 상수함수가 아닐 때
함수 f(x)가 닫힌 구간 [a, b]에서 연속이므로
최대·최소 정리에 의해 이 구간에서 최댓값 또는 최솟값을 갖습니다.
① 함수 y=f(x)가 x=c (a < c < b)에서 최대일 때
최대·최소의 정의에 의해
정의역에 속하는 모든 x에 대하여
부등식 f(a) ≥ f(x)가 성립합니다.
따라서 f(x)-f(a) ≤ 0가 되고,
x=c에서의 좌미분계수와 우미분계수는
다음을 만족합니다.
(∵x→c-일 때 x-c < 0, x→c+일 때 x-c >0)
함수 y=f(x)가 x=c에서 미분가능하므로 f’(c)가 존재하고,
위 부등식으로부터 f’(c)=0임을 알 수 있습니다.
② 함수 y=f(x)가 x=c에서 최소일 때
(같은 방법이므로 생략)
오늘은 여기까지 입니다.
긴 글 읽어주셔서 감사드려요~ ^^
[알림] 미적분1-다항함수의 미분법 부교재 업로드 되었습니다.
다음에 작업할 부교재는 미적분2-미분법입니다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
좋아 2
좋은 아침
-
라면 추천좀 1
국물 라면 말고
-
기차지나간당 0
부지런행
-
6모 15번 난이도 어느정도에요???? 이제 어느정도 실력 올라왔다 생각했는디 이거...
-
아 네..^^ 2
-
얼버기 3
더워서 잠을 푹 잔 느낌은 없네
-
6/28~7/3 워크북까지 완료!
-
화산귀환 재밌네 0
소설 돈주고 사서 보는중인데 벌써 만원씀…
-
정법+세지 조합 2
괜찮을까요? 정법은 그래도 안정적이라고 들어서 하고 싶은데 문제 보니까 조금...
-
내후년 수능 준비중이고 걍 2년동안 대성마이맥 잡고 N제 싹 다 풀면 되겠죠?
-
슬슬자야지 1
덥네요
-
반수로 수학 시작하려고 하는데 통 선택 문과이고 5등급 정도 나옵니다...목표는...
-
눈떠보니 1시면...
-
문학 공부 개잘되는데
-
시대 라이브 0
님들 서바받을려고 시대 라이브 신청할려는디 시간표보고 전화해서 단과...
-
지금 스칸데 곧 편의점 가서 뭐 사갖고 오려는데 결정장애 심해서 못 고르겠음 추천행중셍용
-
정답은 2번..해설지를 봐도 모르겠다 배성민 하프모고 시즌1 3회에요
-
얼버기 1
-
그래서 8
난 더 빠륵니ㅣ니ㅣㄹㅡㅡㄹㄷㄱㄴ????아 와 이러냐 자야징
-
술마시고싶다 1
-
댓글남겨줘 얼마나 마는가 궁금해서
-
3점,쉬운4점정도까지만 풀수있고 케이스분류나 그래프 추론을 하는걸 너무 못하는데.....
-
미국 대선 이걸 어케 참음 ㅋㅋㅋ
-
말이안나오네 2
언젠간저걸따라할수있을까...
-
왜그랬지?
-
일단십덕짓은안할거고
-
이거 지문이해가 초반에 파장이 짧은 빛은 위치에 대한 정확도가 높고 파장이 긴 빛은...
-
6모는 65점 나왔는데 최근에 빡모 시즌1 다 풀고 킬캠도 어제오늘해서 1,2회차...
-
다들낭만적대학생활하고잇잖아요
-
안락사를 받아드...
-
제 심리 파악좀 해주세요 정신상태 문제인가 @의뱃
-
내신 한국사 4
안녕하세요 기말고사 보는 고1입니다.. 수시에서 한국사 많이 안보나요ㅜ 막 한국사...
-
죽고싶다 4
시니따이
-
지코바먹고싶다 5
매일백수같이집에서놀고먹고싶다
-
내가여자라는사실,내가찐의대김동욱이라는사실 두가지모두해명완.
-
노래 추천받습니다.
-
개꿀잼일듯ㅋㅋ
-
잔다 2
아님.
-
진지하게 지금 글씨체 여섯살때랑 똑같음
-
악마들이 그렇게 좋아한다는 때묻지 않은 순수한 영혼 팔아넘김..ㅠ
-
안가져도 행복할 수 있다는걸 깨닫고 포기함
-
이미지 묻기 7
ㅇㅇㅈ
-
6모 백분위 94인데 추천해주세용!
-
대성마이맥 수학강사 이미지 아님 bite 아님
-
감사합니다
-
무슨 답이 올지가 뻔함
-
번호 배치가 너무 인상적이라 잊을 수 없어버려
함숫값이 일정한 구간이 있는 함수에서도 극대극소가 적용되나요? 왜죠?
구간내에서 해당 값보다 큰값만 없으면 극대이므로 상수함수는 모든값이 극대 모든값이 극소입니다.
지난 칼럼에 자세하게 설명되어 있습니다.
http://orbi.kr/0007982857
칼럼 매번 잘 읽고갑니다!
늘 와주셔서 감사합니다 ^^
쵝오.
오늘은 일찍 오셨군요 ^^
감사합니다~
먼저 좋아요 누르고 읽으러 갑니다
와주셔서 감사합니다~ ^^
좋은글 감사합니다~
읽어주셔서 감사합니다 ^^
학생한테 과외하면서 쉽게 가르친다고 극점은 도함수 부호가 바뀌는 지점이라고 설명하는데 이러면 곤란할까요...? 이런
못하는 학생 대상이에요
본문에도 언급되어 있지만
교과서/수능으로 한정했을 때 극대, 극소 문제의 대상은
함숫값이 일정한 구간이 존재하지 않는 연속함수입니다.
이런 경우에는
(극점)=(도함수의 부호가 바뀌는 지점)이라고 할 수 있죠.
별 문제 없어 보입니다 ^^
아 감사합니다!
좋은 글 감사합니다^^
저도 읽어주셔서 감사드립니다 ^^
박수칠때떠나라
박수 받으려면 아직 멀었다니까요... ㅡㅡ;