[박수칠] 함수 f(x)g(x), f(x)/g(x)의 그래프 개형 (미적분2)
게시글 주소: https://old.orbi.kr/0008113793
미적분2에서 미분법의 활용 단원의 문제들은
대부분 함수의 그래프와 연결됩니다.
특정 함수의 그래프 특성을 물어보는 문제도 있고,
접선 문제, 최대·최소 문제, 방정식·부등식 문제를 풀기 위해
그래프를 그려야하는 경우도 있습니다.
이를 위해 함수의 그래프 개형을 파악하려면
많은 요소들을 고려해야 합니다.
미적분1처럼 함수의 증가·감소와 극점 파악은 기본이요,
아래로 볼록·위로 볼록과 변곡점, 점근선까지 알아야 하죠.
특히 아래로 볼록·위로 볼록과 변곡점에 대한 조사는
이계도함수를 이용해야 하기 때문에 귀찮습니다.
그런데 도함수나 이계도함수를 이용하기 전에
함수식의 특성만으로 그래프 개형을 어느 정도 짐작할 수 있다면
그래프를 그리거나, 그래프 관련 문제를 풀 때 상당히 유리하겠죠.
이 글에서는 함수식이
f(x)g(x)의 꼴 또는 f(x)/g(x)의 꼴로 표현되는 함수에 대하여
도함수와 이계도함수를 거치지 않고 그래프 개형을 파악하는 법에 대해
얘기하고자 합니다.
도함수나 이계도함수를 이용하지 않고 그래프 개형을 파악하는 과정은
다음의 3단계로 이루어집니다.
(1)단계: 함수식으로부터 다음의 요소들을 조사
① 우함수, 기함수 같은 그래프의 대칭성
② 정의역과 x절편
③ y값의 부호
④ 점근선
(2)단계: (1)단계에서 찾은 각 요소들을 좌표평면에 표시
(3)단계: (2)단계에 표시된 요소들을 곡선으로 부드럽게 이어주기
이 과정을 제대로 이해하려면 예가 필요하겠죠?
(1)단계
① 그래프 대칭성 없음
② 정의역은 실수 전체의 집합, x절편은 0과 1
③ e^x > 0 이므로 y의 부호는 x(x-1)의 부호와 같음
구간 (-∞, 0)에서 y > 0, 구간 (0, 1)에서 y < 0, 구간 (1, ∞)에서 y > 0
④ x → -∞일 때 y → 0 이므로 x → -∞일 때 점근선 y = 0
x → ∞일 때 y → ∞ 이므로 x → ∞일 때 그래프가 오른쪽 위로 향함
(2)단계
x축 위에 x절편을 표시한 다음,
y의 부호에 맞춰 그래프가 지나는 모양을 표시
점근선의 위치도 y의 부호에 맞춰 표시
(3)단계
(2)단계에서 표시한 요소들을 곡선으로 부드럽게 이음
위 함수의 실제 그래프는 다음과 같습니다.
이 정도면 비슷하죠? ^^
계속해서 다른 예도 살펴봅시다.
(1)단계
① 그래프 대칭성 없음
② 정의역은 양의 실수 전체의 집합, x절편은 1과 2
③ (x-2)² ≥ 0 이므로 y의 부호는 lnx의 부호와 같음
구간 (0, 1)에서 y < 0, 구간 (1, 2), (2, ∞)에서 y > 0
④ x → 0+일 때 y → -∞이므로 점근선 x = 0
x → ∞일 때 y → ∞이므로 그래프가 오른쪽 위로 향함
(2), (3)단계
(함수식에 (x-2)²이 포함되어 있기 때문에
그래프가 x=2일 때 x축에 접함을 예상할 수 있음)
위 함수의 실제 그래프는 다음과 같습니다.
(1)단계
① 그래프 대칭성 없음
② 정의역은 0을 제외한 실수 전체의 집합, x절편은 1과 2
③ y의 부호는 x(x-1)(x-2)의 부호와 같음
구간 (-∞, 0)에서 y < 0, 구간 (0, 1)에서 y > 0,
구간 (1, 2)에서 y < 0, 구간 (2, ∞)에서 y > 0
④ x → -∞일 때 y → -∞이므로 그래프는 왼쪽 아래로 향함
x → ∞일 때 y → ∞이므로 그래프는 오른쪽 위로 향함
x → 0-일 때 y → -∞이므로 점근선 x=0
x → 0+일 때 y → ∞이므로 점근선 x=0
(분자 차수) ≥ (분모 차수)이므로 분자를 분모로 나누면
y = x -3 + 2/x 가 되고,
x → ±∞일 때 2/x → 0이므로 y ≒ x-3 으로 볼 수 있음
따라서 x → ±∞일 때 점근선 y = x-3
(2), (3)단계
위 함수의 실제 그래프는 다음과 같습니다.
(1)단계
① 그래프 대칭성 없음
② 정의역은 실수 전체의 집합, x절편은 1과 2
③ e^x > 0 이므로 y의 부호는 (x-1)(x-2)의 부호와 같음
구간 (-∞, 1)에서 y > 0, 구간 (1, 2)에서 y < 0, 구간 (2, ∞)에서 y > 0
④ x → -∞일 때 y → ∞이므로 그래프가 왼쪽 위로 향함
x → ∞일 때 y → 0이므로 점근선 y = 0
(2), (3)단계
위 함수의 실제 그래프는 다음과 같습니다.
(1)단계
① 그래프 대칭성 없음
② 정의역은 2를 제외한 양의 실수 전체의 집합, x절편은 1
③ y의 부호는 (x-2) lnx의 부호와 같음
구간 (0, 1)에서 y > 0, 구간 (1, 2)에서 y < 0, 구간 (2, ∞)에서 y > 0
④ x → 0+일 때 y → ∞이므로 점근선 x = 0
x → ∞일 때 y → 0이므로 y = 0
(2), (3)단계
위 함수의 실제 그래프는 다음과 같습니다.
(1)단계
① 그래프 대칭성 없음
② 정의역은 1을 제외한 양의 실수 전체의 집합, x절편은 2
③ y의 부호는 (x-2) lnx의 부호와 같음
구간 (0, 1)에서 y > 0, 구간 (1, 2)에서 y < 0, 구간 (2, ∞)에서 y > 0
④ x → 0+일 때 y → 0이므로 x → 0+일 때 그래프가 원점으로 향함
x → 1-일 때 y → ∞이므로 점근선 x = 1
x → 1+일 때 y → -∞이므로 점근선 x = 1
x → ∞일 때 y → ∞이므로 그래프가 오른쪽 위로 향함
(2), (3)단계
위 함수의 실제 그래프는 다음과 같습니다.
(구간 (0, 1)에 변곡점이 존재하지만 개형에서는 확인 불가능)
지금까지의 예를 보면 이 방법이 참 잘 통하는 것 같은데…
그럴싸한 함수만 예로 들어서 그런 것이지
절대 만능은 아닙니다.
그럼 어떤 함수가 잘 통하는가?
f(x)g(x), f(x)/g(x)의 꼴에서 f(x), g(x) 각각이
실수 범위에서 예쁘게 인수분해되는 다항함수
또는 간단한 지수함수, 로그함수여야 합니다.
여기에 맞지 않다면
증가·감소와 극점, 아래로 볼록·위로 볼록과 변곡점을
파악하기 위해 도함수, 이계도함수에 대한 조사가 필수입니다.
예를 들어 다항함수 부분이
실수 범위에서 인수분해되지 않으면
x절편과 점근선만으로 극점의 위치를 예상할 수 없습니다.
다음은 함수 의 그래프입니다.
이 함수의 분자 5x²+3x+1이 실수 범위에서 인수분해되지 않기 때문에
x절편, y의 부호, 점근선만으로 그래프 개형을 그린다면
극대, 극소가 나타나지 않습니다.
그러니 잘 활용하되, 맹신하지는 마세요~ ^^
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
언매총론 맛있네 1
찹찹찹
-
EBS 수능연계 교재 수능특강, 수능완성 문학 김승리 또는 유대종으로 들을 생각인데...
-
https://class.orbi.kr/event/29 ㅋㅋㅋㅋ
-
물론 정시로 간 건 아니지만.. 경희대 치대 2관왕. 모두 1일 1대종 하세요(?)
-
유대종T 2025 언매총론 개강 보통 언제 하나요? 2024년도꺼 지금부터 들었다가...
-
반갑습니다. 유대종 강사입니다. 간혹 눈팅은 하였지만 이렇게 글을 오래간만에 써...
-
유대종 0
대종쌤 현강 듣는사람중에 대종쌤 문학 픽좀 알려주실분?
-
오르비나 타 커뮤에 이 수업에 대한 정보가 없어서 '이걸 대기를 걸면서까지...
-
43번인데 다음주에 들어가는 건 무리겠죠? 고3 수업들은 40번대 대기번호는...
-
지금 시대 강사 한 명 풀커리 타고 있는데 부족한 거 같아서 방학때 인강 하나...
-
시즌 1은 안 들었는데 수특수완 독서 혼자 공부할꺼말까 고민대오..
-
잇올 가격 0
보통 60인가요?
-
살만 함?빌드업 책에 필기 다 했긴했는데 사는게 나을라나
-
어그로 죄송합니다 사실 이번 수특 문학 이조년의 이화에 월백하고에 일지춘심이라는...
-
국어 노베에 ㄹㅇ 허수입니다 작년 69수능 345(백분위41) 나왔습니다 다들...
-
국어 문학파트만 들으려고하는데 대성 메가 다합쳐서 누가 가장 괜찮을까요? 문제를...
-
김동욱T 찍먹 0
김승리 올오카 수강하고 있는데요 아직 독서가 제 독해 자체에 문제가 있는것 같아서...
-
유대종t 인셉션, 언매총론 끝내고 EBS는 듄탁해 들을 겸김상훈t 그릿 &...
-
담화할때 시간적 맥락, 공간적 맥락은 알겠는데 사회심리학적 맥락이랑 문화적 맥락은...
-
현역 화작 선택이고 하루에 국어 3시간정도 투자 가능합니다 맨날 모고때 자서 현재...
-
ㅈㄱㄴ 수특 문학이 시험 범위여서 ovs 한 번 들어보니까 전에 내신 학원에서 하던...
-
유대종 ovs 6
유대종 ovs문학으로 내신커버 가능한가요 강민철 듣는데 내신 아니라 수능이라하셔서
-
김승리 선생님 현강 대기 풀려서 중간에 입반하신 분 쪽지 주실 수 있을까용 ㅜ
-
강기분 듣는데 데유 풀어도 ㄴ 상관??
-
강기분이랑 기실해랑 같은 포지션인가요??
-
언매 노베 2
유대종vs전형태 유대종쌤은 딴소리가 많다하고 전형태쌤은 노베가 듣기는 컴팩트하다...
-
조깅, 주몽신화 궁금한게 있어서 어그로 끌어봤습니다 ㅈㅅ합니다.... 연계가 어떻게...
-
5번의 3번선지는 적절하다고 생각합니다 1.2문단은 1문단에서 행위...
-
더프언매 개터졌는데 16
선택에서 7개쳐틀림ㅋㅋ 6평땐 1개 틀렸는데 언매올인원 문법클리어 나기출 다했는데...
-
기실해에서 고전시가는 공부할 때는 단어암기가 기본이라고 해서 책에 나오는 단어들...
-
유대종 커리 0
지금 2등급 후반 정도 나오고 국어 인강은 따로 들어본 적 없는데 진또배기부터...
-
유대종 현강 2
현강에서 진또배기 한다는데 문학이랑 비문학 다하나요?
-
대종쌤 듣고 있었는데 이게 점수 안나온건 내 탓이지... 근데 강민철 쌤으로...
-
김동욱 내신휴강 기간동안 유대종 다니려고 생각중인데 유대종도 혹시 내신휴강 때림?
-
문학은 강기분 듣는 중인데 Ebs 구성보면 ovs 가 ㅆㅅㅌㅊ고 강민철은 굉장히...
-
진또배기 체화서 0
제가 데일리 유대종 책을 풀로 샀는데요, 진또배기 체화서까지 사야할까요? 어떻게...
-
웬만한 언매 문제집을 다 풀어서 다른 거 찾고 있었는데 머종쌤 꺼 사도 문제...
-
김승리 현강 2
유대종 커리 듣다가 이번에 김승리 현강으로 바꾸려 하는데 올오카 안듣고 다음...
-
유대종t 현장강의 겨울부터 쭉 듣고있는데 김승리t 올오카 다음 커리부터 김승리t로...
-
아니.. 유대종 주간지 미친거 아님? 이거 뭐임..? ㄴㅁㄱㄹ? 9
아니 유대종 주간지 지문 해설..... 퀄 뭐임...? 리얼 유대종T가 그대로...
-
국치독 작년꺼 2
유대종t 국치독 작년꺼랑 이번년꺼랑 많이 다름??ㅜㅜㅜ ot는 ㄱㅊ아보이는데 잘못사무ㅜㅜㅜ
-
나 교재 기존 국치독 샀는데 2023도 해야하는건가??ㅜㅜ 유대종 유대종T 윾머벨
-
유대종의 문학개념어하고 국치독 다들으면 굳이 윤혜정의 나비효과 안들어도 되나요?
-
국어 주간지 고민 14
꼭 필요 할까요?? 하루에 고정 공부량이 생기는게 좋을거 같아서 그런데 유대종쌤...
-
꼭 필요 할까요?? 하루에 고정 공부량이 생기는게 좋을거 같아서 그런데 유대종쌤...
-
김승리 유대종..누가 과연 좋은 강사일까? (이번 수능 99) 2
유대종쌤이 대성마이맥에 입성하면서 김승리쌤과 유대종쌤 중 누가 1타를 차지할...
-
대성에서 보면 커리가 이렇게 되어있는데 유대종쌤 들어가보면 지금 독서, 문학,...
-
유대종 풀커리만 타도 양은 충분함? 강민철 풀커리에 비해 양은 적은 것 같아서 따로...
-
예비 고3 인데 유대종 풀커리랑 강민철 풀커리 ㅈㄴ 고민됨 고2 때 강민철 들었는데...
ㅗㅜㅑ
개꿀 팁 사랑합니다
와 2분만에 첫플!
감사합니다 ^^
이거 삽자루센세가 기출이랑 해모 해설할때 쓰시던 것이네요 ㅎㅎ 유툽에서 보고 신기해서 배워뒀네요
2014학년도 수능 30번 문제 풀 때 진짜 쓸만하죠~
난만한씨의 곱함수의 그래프 개형이 기억나군요 ㅋㅋ
한완수 최신판도 본문처럼 설명되어 있나요?
2012년에 나온 한완수 가지고 있는데
거기서는 f(x), g(x) 각각의 특성을 조합하는 방식으로
그래프를 그렸던 것 같거든요. (좀 어렵...)
네 지금도 f(x),g(x) 로 각각 나누어서 각각의 특성을 이용하여 간단한 개형을 추론하는식으로 나와있을꺼에요 . 저는 도함수와 이계도함수를 이용하지않고 개형을 추론해보는것에 주목해서 생각난다고 말한듯 ㅎ
아~ 그렇군요.
좀 어렵긴 하지만 확장성 면에선 한완수에 기술된 방식이 더 좋죠.
본문의 방식은 x절편이 없으면 망이라... ^^;
t->inf t^2/e^t =0인건 어떻게..아나요??
1. ∞/∞꼴이고 분모·분자가 모두 미분가능하기 때문에 로피탈 정리를 2번 씁니다. 로피탈 정리 적용 결과가 수렴하기 때문에 문제 없습니다.
2. e^t을 테일러 급수로 전개합니다. 그럼 차수가 무한대인 다항식이기 때문에 위 극한이 0으로 수렴함을 알 수 있습니다.
3. 고등학교 과정 내에서 설명하려면 세 단계를 거쳐야 합니다.
(1) n → ∞일 때 e^n / n² →∞의 증명
e=1+h로 두면 이항정리에 의해 다음이 성립합니다.
e^n = (1+h)^n = nC0 + nC1·h + nC2·h² + nC3·h³ + ···
= 1 + n·h + { n(n-1)/2 }·h² + { n(n-1)(n-2)/6 }·h³ + ···
e^n / n² = 1/n² + ( 1/n )·h + { (n-1)/2n }·h² + { (n-1)(n-2)/6n }·h³ + ···
여기서 네 번째 항 때문에 n → ∞일 때 e^n / n² → ∞입니다.
(2) (1)로부터 n → ∞일 때 n² / e^n →0임을 알 수 있습니다.
(3) (2)로부터 x → ∞일 때 x² / e^x →0임을 알 수 있습니다.
ㅎㅎ 이항정리 방법일 것 같았습니다. 미2 내용만으로 설명할 수 있는 방법이 있나요ㅡ?
+1. 에서 로피탈..? 정리 적용 결과가 수렴하면 문제없나요?
이항정리로 보이는 방법 알고 계셨나요?
전 어떤 분이 이항정리로 증명하는 건 어떻겠냐고
아이디어 던져줘서 알아낸건데... ㅡㅡa
로피탈 정리에 대해선 다양하게 찾아봤는데
'로피탈 정리 적용 후에도 수렴해야 한다'라는 조건까지
붙이는 것이 가정을 제일 tight하게 적용하는 경우더라구요.
http://mathworld.wolfram.com/LHospitalsRule.html
이 이상의 제약 조건이나 반례는 아직 못찾았습니다.
이전에 학생들 가르칠 때, 어디 학원에서 배워왔다고 하더군요 ㅎㅎ
미적분내용이아니어서 그냥 넘겼었는데..
로피탈 정리 적용 결과가 0이 아닌 값에 수렴해도 되나요?
그랬군요 ^^;
로피탈 정리는 적용 후에 0이든, 0이 아니든
상수로 수렴하기만 하면 문제 없습니다.
lim_(x→∞) { (x+sinx) / x } 처럼
분모·분자 미분 후 발산하면 로피탈 정리를 적용할 수 없구요.
대칭성의 유무는 어떻게확인하나요..?
정의역의 임의의 원소 x에 대하여
(1) f(-x)=f(x)가 성립하면 y축에 대해 대칭 (우함수)
(2) f(-x)=-f(x)가 성립하면 원점에 대해 대칭 (기함수)
(3) f(a-x)=f(a+x)가 성립하면 직선 x=a에 대해 대칭
(4) f(a-x)=-f(a+x)가 성립하면 점 (a, 0)에 대해 대칭
등이 있습니다.
그래프 그릴 땐
(1), (2)에 해당되는지 판단하는 걸로 충분하구요.
헐 개꿀... 감사합니드..♡
저도 감사드리고,
꼭 써먹을 기회가 왔으면 좋겠네요~ ^^
이관데 박수칠 미적12둘다샀는데 미적1은 어느정도 깊이로 하면될까요 ?기본문제위주로하고 수능모위기출까지는풀지말까요?
최소로 잡아도 본교재에 실린 기출은 모두 보는 것이 좋다고 생각합니다.
직접 출제 범위는 아니지만 발상이나 해법이 미적분2와 연결되니까요.
최대로 잡으면 여기( http://orbi.kr/0005897498 )에 있는
부교재 연습문제까지 다 푸는 거구요.
아울러 정오표도 꼭 참고해주시구요.
교재 구입 감사드리고,
오류/오타 때문에 학습에 불편을 드려 죄송합니다.