[칼럼]논술에서도 쓸일 없는 테일러 급수 증명법 (ver.고등학생)
게시글 주소: https://old.orbi.kr/00066474042
첫 글 쓴지 얼마 안되서 두번째 글을 써보네요... 그리고 이륙 지원해주신 분들 모두 감사합니다!
제목대로 테일러 급수는 사실 논술에서도 써먹을 기회 자체를 거의 주지 않습니다... 하지만 난 극한 문제를 풀 때 테일러 급수 매번 쓰면서 너무 찝찝했다! 하시는 분들은 한번쯤 읽어 보시면 좋을 것 같습니다.
테일러 급수란 초월함수를 다항함수의 합으로 나타내는 방법입니다. 예를 들자면
과 같은 식의 방정식입니다. 이를 전개하면
과 같은 모양이죠. 여기서 우리가 주로 쓰는 부분은 이차항 이상의 부분을 싹 다 잘라내고
로 근사한 부분입니다. x가 0에 가까워질수록 1차항보단 2차항 이상의 부분의 오차가 매우매우매우 작아지기 때문에 이렇게 근사할 수 있는 것입니다.
그럼 지금부터 테일러 급수의 증명을 간단하게 적어 볼게요.
급수로 구하고자 하는 함수를 f라 둘게요. 고등학교 과정에서 배우는 모든 초월함수는 무한히 미분 가능하니 f도 무한히 미분 가능하다고 두죠. 그러면 미적분의 기본정리에 의해
가 성립합니다.
위 식을 부분적분하는데 u=f'(t), v'=1로 두고 적분상수 C=-x로 두면 다음과 같은 전개가 가능해집니다.
v'=1이면 v를 적분하면 t+C가 나오죠. 여기서 적분할 인자는 t이기 때문에 적분상수를 x로 둘 수 있게 됩니다.
자. 이번엔 오른쪽의 (t-x)f''(t)를 다시 부분적분해 보겠습니다.
여기서 f 위의 괄호 안의 숫자는 f를 미분한 횟수를 표현하는 방법 중 하나입니다. '(dot)을 많이 찍다 보면 갯수 세기가 불편하잖아요?
한번 더 전개하면
이를 계속 반복하다 보면 이러한 규칙이 생깁니다.
이렇게 다 더하면
라는 식이 나옵니다.
함수 f는 무한히 미분이 가능한 함수라 가정했고 대부분의 초월함수가 실제로 그 조건을 만족하므로 n은 무한히 커질 수 있겠죠?
이때 어지간한 초월함수라면 n!의 증가량이 분자 부분((t-x)^n f^(n)(t))의 증가량보다 아득히 크기 때문에 마지막 적분 기호는 n이 무한대로 발산한다면 0으로 수렴합니다.
(이 부분은 대학 가서 적분의 평균값 정리를 배워야 자세히 설명이 가능한데... 일단은 이렇게 대충 짚고 넘어갑시다)
따라서 f(x)는 다음과 같이 새롭게 정의할 수 있습니다.
이것이 그 탈 많은 테일러 급수의 유도 과정입니다.
그럼 이제 실제로 자주 쓰는 초월함수 몇 개를 넣어서 한번 계산해 보죠.
먼저 f(x)=e^x입니다.
f'(x)=e^x, f''(x)=e^x, ... 이므로 a=0을 대입해 정리하면
가 됩니다.
이번엔 로그함수 f(x) = ln(1+x)입니다.
f'(x) = 1/(1+x), f''(x) = - 1/(1+x)^2, f'''(x) = 2/(1+x)^3, ... 이므로 a=0을 대입해 정리하면
가 됩니다.
다음은 사인함수, 코사인함수를 해 볼까요?
이번에도 a=0을 대입하고 미분해서 계산해 보면
나머지 삼각함수들은 사인, 코사인처럼 직접 유도되는 것이 아니라 다른 방법으로 유도합니다. 그래서 그 과정 설명은 못 해드리고... 가장 자주 쓰이는 탄젠트의 식만 짧게 보여드리겠습니다.
네... 이 친구의 계수는 얼핏 보면 불규칙해 보입니다. 이는 나중에 베르누이 수열이라는 걸 배운 뒤에 알아보시는 걸로...
다른 초월함수들은 고등학교 과정에선 거의 안 배우죠? 그러니 초월함수 탐색은 여기까지 하겠습니다. 수식 넣기 힘들어요
마지막으로 테일러 급수는 대체 어디까지 근사해서 써야 하느냐! 에 관한 내용을 조금이나마 적겠습니다.
대부분의 극한 문제에서는 분모 분자가 같은 차수가 되도록 문제를 만듭니다. 이러한 경우에는 보통 1차항(코사인의 경우는 2차항)까지만 근사하면 답이 나옵니다.
하지만 간혹가다 분자에는 사인 1개 x 1개나 탄젠트 1개 x 1개 줘 놓고는 분모에선 3차항을 준다던가... 하는 경우가 있습니다.
뭐 이런식으로 말이죠. 이때는 분모와 차수가 같아지는 차수까지 근사를 해 주셔야 합니다. 가령 위의 식에서는 사인을 3차까지 근사해서 답은 1/6이 나옵니다.
여기까지 테일러 급수의 증명과 활용시 주의점에 대해 부족하게나마 적어 봤습니다. 이걸 보고 수학에 흥미가 생기신다면 좋겠네요... 긴 글 읽어주셔서 감사합니다!
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
12시에 잠시 깻다가 다시 4시까지 내리잤네..
-
4코 시즌1이랑 싱글 커넥션 중에 뭐가 더 어렵나요 ?
-
홀수 하루 30분 시리즈 이거 해보신 분들 계시나 있다면 후기점
-
작수보다 345덮이랑 모고 다 적어도 10등급 이상은 올랐는 6모에서 망할까봐...
-
화작 확통 사문 지구 선택과목 괜찮은 거 맞을까요 주변에서 자꾸 언매랑 차라리 사탐...
-
나도 작년에 3월 5월 수학 2등급띄우고 다른과목도 등급컷 겨우 걸치고 그랬다가...
-
작년 히카 0
올해랑 겹치는게 없나요?
-
진지하게 2
아카라카는 라이브 실력 탁월해야 와야하는 거 아닌가요?; 뉴진스가 왜옴ㅋㅋ 가만히...
-
못 참고 핸드폰 켰더니 다시 잠들지를 못하겠음.. 걍 버티다가 밤에 자야지(개같이 낮에잠)
-
메디컬을 노리는 사람들은 전체의 5~7% 라런데
-
반수한다고 긱사방다빼고 학교도 안나오는룸메… 아카라카에서 마주침 서로 웃고 눈인사해줌
-
사라지셨네
-
재밌지 싶네요 역대 최고수준의 반수+재수생 유입 작년 이슈로 문항기조 예측불가 일단...
-
사람 죽여서 신상털렸는데 언론이 야! 신상터는건 도넘은거 아니냐! 하고 실드쳐주고...
-
대학와서 반수하느라 친구는 못사귐 고향 친구들은 전부 다른지역에 살거나 군대감...
-
6모 끝나고 잇올 휴가권 바로 낸다음에 평일에 혼자 유수풀가서 즐기고 싶은데 막상 재미없을까봐 걱정
-
6모 끝나고 1
캐비가도됨?
-
5덮 성적표 0
5덮 성적표 종이로 나오는거 언제 나오나요? 잇올에서 시험봤는데 아직 안나왔어요....
-
현역 메디컬 수시 최저러고 언매 미적 생지 3모 31123 5모 11123입니다...
-
대치IDA 독학재수 후기이벤트로 작성한 글입니다. 안녕하세요 저는 작년에 재수로...
-
ㅇㅈ 2
아카라카 끝나고 대학생활의 의미 사라졌다
-
가능충 질문 8
작수 4등급 턱걸이 지금부터 반수하면 sky가능? 자는시간빼고 15시간 공부하면 ㄱㄴ?
-
이건 아니궈던
-
난 진짜 십덕이라 보러감.. CGV! CGV! CGV!
-
울려라 이것에 포애버
-
adhd인가
-
못하는 팀원을 데리고 이기지 못하는 것은 단순히 내 실력부족이라고 생각된다
-
연고티비 나3이가 누군데
-
중대장 씹년도 양비론 앞세우면서 물흐리는 년들 나와야 정상인데 오르비 여론은 거의...
-
지금 본인 꼬라지 14
입에는 테이프 붙이고 코엔 비강확장기 끼움 여러모로 병신같음
-
보닌 수원사람인데 왜 사당에서 만나는게 편하다는 밈이 생겼는지 모르겠음... 7
대중교통으로 사당은 1시간 강남은 35분 걸림... 뭐지다노;; 사당 개멀고 오히려...
-
뉴런 기간 0
6모전까지 뉴런1바퀴돌리고 그다음에 한달동안 뉴런2회독이랑 n제 병행해도될까요
-
투표 있는과자중 4
.
-
진짜 메디컬고시화 다됐다. 이제 중졸 시험이 아닌 듯
-
민지야 8
반가워
-
파데 킥오프 다 하고 현우진 듣고 싶어서 수분감 하는중인데 뉴런도 같이해도 되나요?
-
앱스키마 하면서 마더텅 해도 되나요? 꼭 매월승리를 같이하는게 더 낫나요? ㅠㅠ...
-
작수 4맞고 지금 문제푸는데 계속 가물가물해서 기초개념 확인하면서 풀만한 문제집...
-
민지는 걍 신임 11
여신 ㅇㅇ
-
처형 당하는데 ㅋㅋ..
-
날 이용한줄 알고 개빡쳐서 G랄염~병 하고 다녔는데 한 3년지나서 다시 보니 아...
-
안깨물테니 나랑 결헌해
-
채상병부터 몇명이 죽은거야 참
-
민지가 이쁘다 5
아이돌 원탑이다 장카설이고 자시고 민이다 민
-
어려웠는데 푸신분들 어떠셨나요??
-
5만덕드림
-
3월 말부터 지금까지 한거 개념에센스 수1 수2 미적 기출 100선 50선 컨택트...
-
필히스 2
정진!
-
살인자한테 심리멘토를 연결해줘?
테일러씨는 참 똑똑하구나
한무 부분적분으로 테일러급수 느낌있게 증명하기 ㄷㄷ
멋있네요
전 개인적으론 이것보단 미분을 이용한 증명이 더 멋진데... 엡실론 델타를 여기서 설명할 수는 없으니 ㅠ
이것도 올려주신다면 재밌게 읽어보겠습니다 ㅎㅎ,,
이건 차마 설명을 못하겠네요... 너무 풀어쓰기가 힘들어유...
예전에 저걸 통해서 오일러 등식 도출할때 참 수학 재미있다고 생각했었는데...
좋은글 감사합니다