[벡터] 서로 다른 두 벡터에 수직인 벡터 구하기
게시글 주소: https://old.orbi.kr/0003735670
그리 자주 나오진 않는 것 같은데 가끔씩 있더라구요.
꼬인위치에 있는 두 직선 사이의 거리 구할 때도 필요하고.
혹시 이거 구할 때 외적 쓰시는 분은 없으시죠..?;; 제 친구는 몇몇 그러던데 별로 따라하고 싶진 않네요.
수능을 준비하는데 뭐하러 외적까지 알아두는지...ㅋ
간단한 문제 하나로 제가 하고싶은 말을 끝내도록 하겠습니다~
첫번째 풀이는 가장 정석적인 풀이이고요, 제가 권하는 건 두번째 풀이입니다.
제가 쓴 풀이는 두번째 풀이가 더 깁니다.(사실 첫번째 풀이도 solved 라고 써버려서 짧아보이는 거지 연립방정식 계산하려면 막 더 써야 되요.)
하지만 두번 째 풀이에서 우리는 벡터a와 벡터b를 연산해서 x,y,z 성분중 하나를 0으로 만들 수 있다는 걸 알 수 있습니다.(어떤 쉬운 문제에선 두개가 0이 되기도 하더군요.)
이걸 잘 이용하면 암산으로도 두 벡터에 수직인 벡터를 구할 수 있습니다.(아 위에건 좀 숫자가 더럽긴 하네요.;그래도 문제 나오면 푸셔야되요. 계산을 싫어하면 안 됩니다. 전 단지 설명의 편의상 생략하겠습니다.ㅋ)
위에처럼 주저리주저리 안 쓰고 빠르게 푸는 것도 보여드리겠습니다.
거만해 보인다면 죄송합니다만, 저는 이 정도 식도 안 씁니다. 제가 알아볼 수 있게만 간단하게 써요.
지금 단지 이해를 위해 더 쓴 것 뿐입니다. 연습장이 아니니까 논리적인 흐름을 좀 보이기 위해서만 쓴 거에요.
그리고 이정도 유리수 계산을 암산으로 하는게 그렇게 천재적인 것은 아닙니다.
(그리고 암산으로 안해도 이게 더 빨라요. '단지 이런식으로 풀면 암산으로도 할 만하다.' 정도로만 이해해 주세요.)
이 풀이는 설명을 생략할테니까 이해가 안 되시면 댓글로 말씀해주세요^^
그런데 제가 위 두 문제에서 자꾸 단위벡터를 구하라고 하는 것에도 이유가 있습니다.
그건 꼬인위치에 있는 두 직선 사이의 거리를 구하기 위함입니다. 다음 문제를 볼게요.
문제 유형은 예전에 제가 풀어본 문제이고
숫자는 제가 만들었는데 생각보다 계산이 안 지저분해져서 다행이네요.;
오늘은 시험이 끝난 특별한 날이라 긴 글을 써봤습니다.
꼬인 위치에 있는 두 직선 사이의 거리를 구할 때,
두 직선 위의 점을 매개변수 s, t로 나타내고 "그 두점을 각각 시점, 좀점으로 하는 벡터가 두 직선의 방향벡터와 각각 수직이다."
라고 놓고 s, t를 구해서 두 점 사이의 거리를 구하는 것도 방법이지만 위의 풀이도 이해하면 디게 괜찮습니다.
뭐 마지막 풀이만 가지고 문제는 쉽게 풀어버릴 수 있지만 개인적으로 풀이를 외우기만 해서 푸는 건 좋아하지 않기 때문에
앞에 쓴 것부터 차례대로 이해해주셨으면 합니다. 도움이 되셨길 바래요.
그나저나 전 R의 자취가 평면이 된다는게 정말 신기하네요. 혹시 계산오류 있으면 지적해주시면 감사하겠습니다.
[수정] 마지막 부분에서 k를 |k|로 수정하겠습니다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
한 번만 봐준다 시발
-
그래도 그냥 적성 맞는쪽 가는게 맞겠져?
-
9모 언매 97 문학1틀 고전시가 쉽길래 눈 힘 풀고 풀다가 먼 등신같은 짓 했고...
-
수능때 22211을 반드시 쟁취
-
두각 1층에서 분쟁 해결중ㄷㄷㄷ
-
목동 갈 수도 있음 일단 내 공부 스타일은 구조독해형임 강민철이 잘 맞는
-
지인선 50분컷 7
다맞았다 이거 초반이라 좀 쉬운듯
-
빡모? 해모?
-
6-5 언제 나오나
-
게시판에 상담글 이라던가 아니면 그냥 자기 소소한 일상이나 지리 관련 흥미로운 것들...
-
피곤해... 0
아침 단과 듣는분들 존경스럽습니다... 이걸 어케 버티는거임
-
1,2번 답 좀 이야기해주세요... 그리고 2번 찬반은 둘 중 아무거나 선택해도 되는거 맞나요?
-
이해원 4-0 0
슴슴하네용 담백하고
-
수바18회개쉬움 4
응 기만맞음ㅅㄱ
-
옯창이 된거 가튼 기분
-
부모님은 주말에 놀러가면서 맛있는 거 이모들이랑 먹고 오면서 나한텐 살 찌고 몸에...
-
그 쪽지는 너굴맨이 처리했으니 안심하라구! 따봉구리야 고마워~!
-
듄모 84점맞고 글올렸더니 밑에 강k 100점이 수두룩하네... 2
난 범부였어
-
20번 맞는줄 알았는데 허허
-
점심
-
강K 14 100 10
아님
-
해외 살다 온 케이스여서 국어를 잘 못하내요 ㅠㅠ 초4~중2: 영어 책만 읽고...
-
발표 너무 별로고 발음 또박또박하라고 불평하니까 표정 막구기네ㅎㅎ
-
Ebs실모 사서 했는데 연계 문학 작품이 단 하나도 없고 지문 배치도 더럽게 이상함
-
그게 나임... 홍세 조형대 다니는데 백분위 92로 자전 추합했었음 비전공자들한테...
-
나는 조커라는 인물을 전개히는 방식부터 마무리까지 완벽하다고 생각하는데 3편이...
-
수2 설맞이랑 섹스 하고 왔습니다 꼭꼭 푸십쇼 그냥 goat임 110여문제 정도밖에...
-
생명 2등급은 백호 실모 시즌 몇 정도가 적당할까요 0
6, 9모 전부 2등급이었는데 백호 실모 시즌 몇을 풀어야 가장 효과가 좋을까요?...
-
이감 표본높음? 1
ㅈ같네
-
작년에 생각도 안했는데 지구과학 시간에 쓰면 됐구나
-
한완수 스타일이 좋네요
-
범위를 늘려본다고 해도 분수함수 적분인데 x=0이 구간내에포함되어서 뭘 해도 안되는거같은데 이거..
-
분컷 72점 ㅜㅜ
-
인강 강사 풀커리 타면서 독학으로 책 찬찬히 읽어 보며 공부하는 애들보다 못하는...
-
제일 얻어갈게 많은것같음.. 혼자 4점도 어느정도 많이 풀어보고..
-
분컷 92는 대체 뭐지 100은 죽어도 안나와
-
6평 국어 몇 점이신가요
-
한양대 입결 떨어짐?
-
듣다가 어려워서 드랍하고 내신벅벅하다가 시대수업들었는데 나만 어려웠던거?
-
상상 5-4 0
독서 -7 언매 -11 82점인데 자살할까요? 예열 안하고 해서 처음에 좀 뇌가...
-
도표랑 1단원만 풀고 버리게 생긴
-
고2인데 여름방학부터 수능선택도 하고 내신대비겸 개념기출 크포 1단원 owl air...
-
인강 강사 커리 따라가면서 그 강사 방식대로 기출 분석하면 오르게 되어 있나요?...
-
이거 재밌음요? ㅈㄴ 재밌어보이는데
-
나같은저능아는ㅇㅇ
-
전혀 등가교환이 아니야 만 원을 주고 천 원을 받아 왔어
-
몸이 찌뿌둥 4
-
20일정도 잡고 끝내려고 하는데 둘중에 뭐가 더 효율적일까요? 개념 끝냈고 모의고사...
[추가] 마지막 문제 답 13/7 이고
s, t로 매개화 해서 거리가 최소가 되는 점 P, Q를 구하려 하면(s, t를 구하려 하면)
계산 드럽게 복잡합니다.; 연습삼아, 또는 위 풀이랑 답 똑같은지 확인삼아 해보시는 것도 괜찮은데.
상당히 복잡해요. 참고하세요.;;ㄷㄷ
굳굳
저는 (x,y,z) 를 (x,y,1) 로 놓고 풉니다. 비율만 구하는거니 하나를 임의로 정해도 되겠죠. (대신 저 1이 0일경우 fail... 이 경우 그냥 다른걸 1로 놓으면 됩니다.)
오. 그런 방법도 있군요. 그런 생각은 못 해봤네요.ㅋ
뭐, 어떤 풀이든 자기 풀이를 찾고 그게 몸에 베이면 좋겠죠~ㅋ
근데 z=0이 되면 다른 1을 찾는 것보다 (x, y, 0) 으로 놓고 풀면 더 간단해지지 않나요?
예 맞아요 ㅎㅎ
근데 문제 복잡해지면 계산실수땜에 답 안나오는줄알고 그냥 변수 바꿔서 다시계산함 ㅎ
아ㅋ
저도 가끔 그런거 검토하려고 이 풀이 저 풀이로 계산해보고 그럽니다.; 괜히ㅎ
아 근데 '몸에 베이다'가 아니라 '몸에 배다' 가 맞는 표현이군요.;;실수 해명ㅋㅋ
저랑 같아요 ㅋㅋ
시험장에서 2012수능 21번 풀때도 그렇게했고
한완수에도 소개되어있고..
사실 저만 쓰는건줄 알았는데 한완수에 나와있어서 실망..
ㅋㅋㅋ
z=0이되면 다시한번더 x로 나눠서 (1,y',0)으로 하면 정말 문제가 쉬워집니다. 요번 ebs 교재 기하와벡터 수능특강에서도 이런 사고로 풀면 훨씬더 쉽게 풀리더군요.ㅎㅎ
아 그런데 궁금한게 꼬인위치에 있는 두 직선 사이의 거리 구하는게 기출이었나요?
정확한 출처를 모르겠네요.;
(일단 정석적인 풀이로 따졌을때)
거리를 구할 때,
매개변수로 표현하는 과정,
내적=0을 두번하는 연습 과정
연립방정식을 푸는 과정
등은 모두 수능에서 도움이되고 고교과정이지만
꼬인위치의 두직선 사이의 거리 구하는건 7차 평가원 기출에
나올리가 없어요.. 교과서에서 그런건 정의하지 않기 때문입니다.
크.. 그렇군요. 그럼 다른 시험 기출이었거나 어떤 사설에서 나온 문제가 원래 출처겠네요.
어쨋든 되게 얻어갈게 많긴 하더라구요.
그리고 하나 질문이 더 있는데 위에 제가 쓴 수식부분에서 R의 자취가 평면이 되는 걸 보이는 과정에서 두 벡터의 일차결합(이 용어도 교과서에 있는지 모르겠지만)이 두 벡터가 만드는 평면위의 임의의 벡터를 나타낸다는 걸 이용했는데 이 정도는 평가원의 입장에서 어떻게 볼까요?
일차결합이란 [linear combination]으로 대학교 2학년때 배울수있는
선형대수학 [linear algebra] 에서 배우는 Theorem 입니다. 고교과정에서 전혀 언급은안되지만
공부를 좀 깊게한 학생이라면 어렴풋이 이해는 하고있는 정도 입니다.
그것을 직접적으로 이용해야 간단하게 풀리는것은 출제되지 않을 확률이 높습니다.
가끔 평가원도 실수를해서.. 2013수능 포물선문제처럼 공식쓰면 1초만에 풀리는 ㅠㅠ
아 정말, 이렇게 고교과정과 아닌 것에 대해 너무 정확하게 말씀해주셔서 평소에도 도움 정말 많이 되네요.ㅠㅠㅋ
댓글 감사합니다.
전 이만 자러가야겠네요.; 내일 등교를.....아 왜 오늘 시험이 끝났는지 모르겠네요, 정말. 금요일에 끝내주지.;
오 연립방정식 풀이 말고
애초에 두 변수의 비율을 알아내고
한 번 더 계산해 나머지 변수의 비율도 알아내는 방법이네요
좋은듯 ㄷㄷㄷㄷㄷ
(보충설명)
수학에서 외적의 효용성은 두가지입니다.
1. 두 벡터에 수직인 벡터를 찾을 수 있다.
2. 두 벡터가 이루는 평행사변형의 넓이를 찾을 수 있다.
하지만 두 가지 모두
다음과 같은 방법으로 해결할 수 있습니다.
1 -> (1,a,b)라 두고 내적을 두번해서 수직인 벡터를 찾는다.
2 -> 벡터 a와 b로 이루어지는 평행사변형의 넓이는 root(a^2b^2 - (a내적b)^2)
따라서 외적에 의하여 유도되는 모든 공식은 고교과정에 의하여
유도되게 되어있고 일차삼피님이 수직인 벡터를 이용해서 구한 꼬인위치의 직선사이 거리 또한
사실은, 외적에 있는 공식을 고교과정으로 유도한 것입니다.
2번에 대한 설명은 없는것 같아서, 보충설명해봤어요. (1번은 일타삼피님이 유사하게 설명해주심)
그리고 2번을 활용하면 공간좌표에서
점과 직선사이의 거리를 구할 때, 내적없이 매우 쉽게 구할수 있지요..
쪽지답장가능하신가여???ㅠ
흑. 기계공 와서 미적분학만 배우니까 머리가 돌이 되었음..
교과외과정 최대로 지양 하는편인데
전 딱 이 부분만 외적을 쓰네요.
(3,4,5) (2,4,9)
(36-20,10-27,12-8)
적응되니까 훨씬 편하더라구요.
저도 이부분만 외적을 이용해서 푸니까 더 편하더라구요
두점의 좌
굳
우와 좋은 글 읽고 갑니다 감사합니다!